(新知杯)2017-2011上海市初中数学竞赛试卷

11、计算3119753239131239145111151915171515151315116（精确到8位小数）2、一个四位数除以433，商为a，余数为r（Nra、）。则a+r的最大值为3、设点A（-0.8,4.132），B（1.2，-1.948），C（2.8，-3.932）在二次函数cbxaxy2的图像上。当图像上的D的横坐标x=1.8时，其纵坐标y的值为4、使等式15512nnn成立的整数n的值为5、如图1，P为⊙O的弦AB上的点，AP=m，PB=n，且m＞n。当AB沿⊙O运动一周，点P的轨迹为曲线C，若圆O的曲线与曲线C之间所围成的图形的面积为)(22nm，则nm的值为26、设[X]表示不超过实数X的最大整数，31242322211211S直至2016项，其中分母为k的一段共有2k项，只有最后一段可能不足2k项，则S的值为7、若实数a、b、c使得二次函数cbxaxxf2)(当0≤x≤1，恒有)(xf≤1.则cba的最大值为。8、已知a、b、c、d为四个正的常数，当实数x、y满足122byax时，2dycx的最小值为9、如图2，⊙M与⊙O外切与点C，⊙M与⊙O的半径分别为r、R.直线TPQ与⊙M切于点T，与⊙O交于点P、Q，求PQCPCQ的值。310、如图3，三个圆两两相交成七个部分，将数字1、2、2、4、4、8、8分别填入这七个部分，使得每个圆圈内部四个数字之积均相等（此值记为P）。如图4的填法满足条件，此时，P=64.对满足上述要求的所有填法，求P的最大值与最小值。11、已知正整数n使得212122nt也为正整数，证明：t为完全平方数12、求使得[1nn]=[20164n]成立的最小正整数n。45610、在1、2、3……2015这2015个正整数中选出k个数，使得其中任意两个不同的数和都不是50的倍数，求k的最大值11、已知△ABC的三边长均为正整数，周长为35，G和I分别△ABC的重心和内心，且∠GIC=90°，求AB的长度。12、设a、b是正整数，求22ba不是4的倍数，求证：)75)(3(baba不是完全平方数789102013上海市初中数学竞赛(新知杯)（2013年12月8日上午9:00~11:00）一、填空题(每题10分)1.已知721,721ba，则.________33bbaa2.已知43214321//////,//////mmmmllll，._______,20,100EFGHILKJABCDSSS则3.已知FEACABA、，,8,690在AB上且3,2BFAE过点E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则.__________GF4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321xfaaaaa为二次三项式；当1ax或者5432aaaax时，5)(xf，当21aax时，,)(pxf当543aaax时，qxf)(，则.________qp115.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.6.已知关于x的一元二次方程0)2)(1(2mmaxx对于任意的实数a都有实数根，则m的取值范围是_________________.7.已知四边形ABCD的面积为2013，E为AD上一点，CDEABEBCE,,的重心分别为321,,GGG，那么321GGG的面积为________________.8.直角三角形斜边AB上的高3CD，延长DC到P使得2CP，过B作APBF交CD于E，交AP于F，则._________DE二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）9.已知90BAC，四边形ADEF是正方形且边长为1，求CABCAB111的最大值.1210.已知a是不为0的实数，求解方程组：axyxyayxxy111、已知：,1nnaaaa,,,,321为整数且2013321321nnaaaaaaaa，求n的最小值.12.已知正整数dca、、、b满足),13(),13(22dcbdca求所有满足条件的d的值.132012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012年12月9日上午9:00~11:00）一、填空题（每题10分，共80分）1.已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。2.同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则的值为______________。3.在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是____________________。4.在矩形中，。点分别在上，使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。5.使得是素数的整数共有___________个。146.平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_____________。7.已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。8.将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则___________。（这里表示不超过实数的最大整数。）二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）9.如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。已知，求证：或者，或者。1510.解方程组。11.给定正实数a，对任意一个正整数n，记2nannf，这里，x表示不超过实数x的最大整数。（1）若55f，求a的取值范围；（2）求证：1anf12.证明：在任意2013个互不相同的实数中，一定存在两个数x、y，满足221112012yxxyyx162011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011年12月4日上午9:00~11:00）一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：032mxx①，02mxx②，其中0m。若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。2.已知梯形ABCD中，AB//CD，90ABC，ADBD，5BC，13BD，则梯形ABCD的面积为_______________。3.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。4.将8个数7，5，3，2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得22hgfedcba的值最小，则这个最小值为____________。5.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得3AE，2BF，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。176.在等腰直角三角形ABC中，90ACB，P是ABC内一点，使得11PA，7PB，6PC，则边AC的长为______________。7.有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。8.已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则dcba的最小值为_________。二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知60DAC，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。求证：LCSM//。解OMSLDCBA1810.对于正整数n，记nn21!。求所有的正整数组fedcba,,,,,，使得!!!!!!fedcba，且fedcba。解11.（1）证明：存在整数x，y，满足2022422yxyx；（2）问：是否存在整数x，y，满足?2011422yxyx证明你的结论。解12.对每一个大于1的整数n，设它的所有不同的质因数为1p，2p，...，kp，对于每个kipi1，存在正整数ia，使得1iiaiaipnp，记kakaapppnp2121例如，895210026p。（1）试找出一个正整数n，使得nnp；（2）证明：存在无穷多个正整数n，使得n.np11。