2000-2012年新知杯上海市初中数学竞赛试题及详解

2000年上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（每小题7分，共70分）2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定、两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．3若n的十进制表示为99…9（共20位9），则n3的十进制表示中含有个数码9。4在△ABC中，若AB=5，BC=6，CA=7，H为垂心，则AH=5若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是6、若关于的方程|1-x|=mx有解，则实数m的取值范围7从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有个．二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）11求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。12（1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论．13如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。2000年上海市初中数学竞赛试卷详解一、填空题（每小题7分，共70分）2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定、两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．3若n的十进制表示为99…9（共20位9），则n3的十进制表示中含有个数码9。4在△ABC中，若AB=5，BC=6，CA=7，H为垂心，则AH=5若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是6、若关于的方程|1-x|=mx有解，则实数m的取值范围7从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有个．解：∵千位数与个位数之差的绝对值为2，可得“数对”，分别是：（0，2），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（5，7），（6，8），（7，9），∵（0，2）只能是千位2，个位0，∴一共15种选择，∴从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有15×8×7=840个．故答案为：840．二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）11求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。12（1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论．解：（1）至少要涂7个小方格，证明：假设只涂了6格或更少，则4行中至少有1行未涂或只涂了1格，若某行未涂，其他3行至少有1行涂了不多于2格，划去这2格所在的2列，划去其他2行，剩下的4格都未涂色，若某行只涂了1格，其他3行涂了5格或更少，则其中至少有1行涂了不多于1格，划去这2格所在的2列，划去其他2行，剩下的4格都未涂色，所以只涂了6格或更少，不能满足要求，另一方面，如果第1行涂1，2格，第2行涂2，3格，第3行涂1，3格，第4行涂第4格，能满足要求，所以至少要涂7个小方格．（2）至少要涂5个小方格，证明：显然涂4格或更少是不满足要求的，如果选5个不同行不同列的小方格（如对角线上的5个小方格）涂成红色，能满足要求，因为，这时任何2行2列，至多只能包含其中4个小方格．13如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题一、填空题(1～5题每小题6分，6～10题每小题8分，共70分)1．在2002当中嵌入一个数码组成五位数20□02．若这个五位数能被7整除，则嵌入的数码“□”是．2．若实数a满足a3aa2，则不等式x+a1－ax解为．3．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A’处，第二次过A’再折叠，使折痕DE∥BC若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．4．已知关于正整数n的二次式y=n2+an(n为实常数)．若当且仅当n=5时，y有最小值，则实数n的取值范围是．5．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，O)、B(0，10)、C(－10，O)、D(O，－10)，则该正方形内及边界上共有个整点(即纵、横坐标都是整数的点)．6．如图，P为△ABC形内一点，点D、E、F分别在BC、CA、AB上．过A、B、C分别作PD、PE、PF的平行线，交对边或对边的延长线于点X、Y、Z．若31,41BYPEAXPD，则CZPF=7．若△ABC的三边两两不等，面积为315，且中线AD、BE的长分别为1和2，则中线CF的长为8．计算：500099009999...500010050002002250001001122222222kkk9．若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4，则(x+y)(y+z)的最小可能值为lO．若关于x的方程cxx3121422恰有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是．二、(16分)已知p为质数，使二次方程x2－2px+p2－5p－1=0的两根都是整数．求出p的所有可能值．三、(16分)已知△XYZ是直角边长为l的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上．求△ABC直角边长的最大可能值．四、(18分)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段?证明你的结论．四、【解答】(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2．点必须连线，此时至少要连15条．(2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连11条．(3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连21/2条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连11条．(4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A)只引出2条线段AB、AC，则不与A相连的4点每2点必须连线，要连6条．由B引出的线段至少有2条，即除BA外还至少有一条．因此，此时至少要连6+2+1=9条．图中所给出的是连9条线的情况．综合(1)～(4)，至少要连9条线段，才能满足要求．2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题（2003年12月7日上午9∶00~11∶00）题号一二三四总分得分评卷复核解答本试卷不得使用计算器.一、填空题（本大题10小题，前5题每题6分、后5题每题8分，共70分.）1、设曲线C为函数2(0)yaxbxca的图象，C关于y轴对称的曲线为C1，C1关于x轴对称的曲线为C2，则曲线C2是函数y＝＿＿＿＿＿＿＿＿的图象.2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元。一天学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲痁实行每买5支送1支（不足5支不送），乙店实行买4支或4支以上打8.5折，小王买13支这种铅笔，最少需要化＿＿＿＿＿元。3、已知实数a、b、c满足0abc，2220.1abc，则444abc的值是＿＿＿.4、已知凸四边形ABCD的四边长为AB＝8，BC＝4，CD＝DA＝6，则用不等式表示∠A大小的范围是＿＿＿＿＿＿。5、在1，2，3，…，2003中有些正整数n，使得2xxn能分解为两个整系数一次式的乘积，则这样的n共有＿＿＿＿＿个。6、设正整数m，n满足mn，且22211112311mmnnmm，则mn的值是＿＿＿＿。7、数1，2，3，…，2k按下列方式排列：12…k1k2k…2k……11kk12kk…2k任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了k次后，所取出的k个数的和是＿＿＿。8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的正方形MNPQ内，且NB在边NP上。若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是＿＿＿＿＿（保留π）。（第8题图）A1PQMNBA（第9题图）MNCBA9、如图，△ABC中，AB＝BC＝10，点M、N在BC上，使得MN＝AM＝4，∠MAC＝∠BAN，则△ABC的面积是＿＿＿＿。10、△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝10，BC＝8，则AC的长是＿＿＿＿。二、（本题16分）m，n均为正整数，若关于x的方程2420xmxn的两个实数根都大于1，且小于2，求m，n的值。三、（本题16分）如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2。求（1）∠MAN的大小；（2）△MAN面积的最小值。四、（本题18分）某学生为了描点作出函数2(0)yaxbxca的图象，取自变量的7个值：127xxx，且213276xxxxxx，分别算出对应的y的值，列出下表：xx1x2x3x4x5x6x7y51107185285407549717但由于粗心算错了其中一个y值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由。MNDCBA2004年宇振杯上海市初中数学竞赛试题（宇振杯）一、填空题：(本大题10小题，前5题每题6分，后5题每题8分，共70分)1、若关于x的二次方程x2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，则实数a的取值范围为2、方程1233543xxx的解是3、一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍；原二位数是4、如图，△ABC中，CD、CE分别是AB边上高和中线，CE＝BE＝1，又CE的中垂线过点B，且交AC于点F，则CD＋BF的长为5、如图，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ＝1，XZ＝2，则六边形ABCDEF的面积为6、如图，正方形纸片ABCD的面积为1，点M、N分别在AD、BC上，且AM＝BN＝25，将点C折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ(Q在CD上)，连PQ，则以PQ为边长的正方形面积为PNMBDACQFDEBCAEDCBAFXYZ7、三个不同的正整数a、b、c，使a+b+c=133,且任意两个数的和都是完全平方数，则a、b、c是8、若实数a、b、c、d满足a2+b2+c2+d2=10，则y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b-c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是9、已知实系数一元二次方程220axbxc有两个实根x1、x2，若abc，且a＋b＋c＝0，则12dxx的取值范围为10、如图，△ABC中，AB＝CD，点P、Q分别在AC、AB上，且AP＝PQ＝QB＝BC，则∠A的大小是二、(本题16分)如图PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形(1)若MP∥BC或NQ∥AB，求证：12PQMNABCDSS；(2)若12PQMNABCDSS，问是否能推出MP∥BC或NQ∥AB？证明你的结论.三、(本题16分)设n是正整数，1234dddd是n的四个最小的正整数约数，若n=22221234dddd，求n的值.四、(本题18分)如图，已知△ABC，且S△ABC＝1，D、E分别是AB