2014年上海中学自主招生数学试卷-

上海牛人数学工作室助你上名校上海牛人数学工作室，福州路567号4B10室，平顺路381号，13524602295刘老师2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷一、填空题(8×9=72)1.已知111abab，则baab___________.【变式】已知：114abab，则baab___________.【变式】已知：114abab，则baab___________.【变式】已知：22114abab，则22baab___________.【变式】已知：114baab，则baba___________.2.有________个实数x，可以使得120x为整数.【变式】x为1,2,3，……，2014，使得100x为有理数的x有_______个.【变式】x为1,2,3，……，2014，使得5x为有理数的x有_______个.【变式】有________个整数x，可以使得1202x为整数.3.如图，在ABC中，ABACCDBFBDCE，，，用含A的式子表示EDF，应为EDF=_____________.FEDCBA【变式】如图，在等腰直角ABC中，090,AABACCDBFBDCE，，，则EDF=_____________.上海牛人数学工作室助你上名校上海牛人数学工作室，福州路567号4B10室，平顺路381号，13524602295刘老师FEDCBA【变式】如图，在等腰直角ABC中，0901AABAC，，DEF、、分别是边BCCAAB、、上的点，且CDBFBDCE，，则DEFS面积最大值为__________.FEDCBA4.在在直角坐标系中，抛物线223(0)4yxmxmm与x轴交于AB、两点，若AB、两点到原点的距离分别为OAOB、，且满足1123OBOA，则m_________.5.定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，72r且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一周，若动圆B开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值.6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有________人.7.对于各数互不相等的正整数组12naaa，，，(n是不小于2的正整数)，如果在ij时有ijaa，则称ia与ja是该数组的一个“逆序”，例如数组2,3,1,4中有逆序“2,1”，“4,3”，“4,1”，“3,1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组123456aaaaaa，，，，，的逆序数为2，则上海牛人数学工作室助你上名校上海牛人数学工作室，福州路567号4B10室，平顺路381号，13524602295刘老师654321aaaaaa，，，，，的逆序数为___________.8.若n为正整数，则使得关于x的不等式11102119nxn有唯一整数解的n的最大值为______.【变式】若n为正整数，则使得关于x的不等式11102119nxn有唯一整数解的n的最小值为______.二、选择题(4×10=40)9．已知212xax能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为()A.3个B.4个C.6个D.8个10．如图，DE、分别为ABC的底边所在直线上的两点，DBEC，过A作直线l，作//DMBA交l于M，作//ENCA交l于N，设ABM面积为1S，ACN面积为2S，则()EDNMCBAA.12SSB.12SSC.12SSD.1S与2S的大小与过点A的直线位置有关11.设1212ppqq，，，为实数，12122()ppqq，若方程，甲：2110xpxq，乙：2220xpxq，则()A．甲必有实根，乙也必有实根B.甲没有实根，乙也没有实根C．甲、乙至少有一个有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定12．设2222222212310071231007,13520133572015ab，则以下四个选项中最接近上海牛人数学工作室助你上名校上海牛人数学工作室，福州路567号4B10室，平顺路381号，13524602295刘老师ab的整数为()A．252B.504C.1007D.2013三、解答题(38分，13题18分，14题20分)13.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC(BD、位于AC的两侧)，MN、分别是ACBD、的中点，且MN、不重合，(1)线段MN与BD是否垂直？证明你的结论.(2)若030BAC，045,4CADAC，求MN的长.NMDCBA14.是否存在m个不全相等的正数12(7)maaam，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值，若不存在，说明理由.上海牛人数学工作室助你上名校上海牛人数学工作室，福州路567号4B10室，平顺路381号，13524602295刘老师上海牛人数学工作室专业从事“新知杯”“大同杯”“美国数学竞赛”“四校自主招生”研究辅导，资料系统全面，不断更新；新知杯专题资料，大同杯专题资料，新知杯模拟试卷(30套)，自主招生数学专题资料，自主招生模拟试卷(20套)，完全覆盖，不遗漏，独家内部资料，所有资料只提供简答，需要详细解答、辅导可以前来咨询，福州路567号4B10室.平顺路381号.电话：[phone]，email:[e-mail],QQ:2640199717答案：1.21,1,ababababab222222121abababbaababababab.事实上，这道题是一道错题：21,1,ababababab注意了，24abab，已知条件就错了，同样结果也错了，22bababaababab.2.11,3.EDF90°12A.4.2,5.11,6.44,7.13.8.220,9．C10．B，11C.12．B.13.(1)MNBD(2)622.14.【解析】设1234567811,,,yxaxayaaaaaxayxxyy，，，，，，显然是一个周期为6的数列，(1)当0(mod6)m,1211001mmmxxyxaaayyaaaxxxyyy;(2)当1(mod6)m,12111mmmxyxaaaxyxxxaaay与不全相等矛盾；(3)当2(mod6)m,12111mmmaaaxyyxyaaayxx与不全相等矛盾；上海牛人数学工作室助你上名校上海牛人数学工作室，福州路567号4B10室，平顺路381号，13524602295刘老师(4)当3(mod6)m,12111mmmyxyaaaxxyaaayxyx与不全相等矛盾；(5)当4(mod6)m,1211111mmmxyaaaxxyaaayxxx与不全相等矛盾；(6)当5(mod6)m,12111111mmmxyaaayxyaaaxyx与不全相等矛盾；综上所述，当0(mod6)m，7m时，存在m个不全相等的正数12(7)maaam，，，，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积.