几何综合(旋转类)-初中数学-旋转分类

角平分线的辅助线构造截长补短中点辅助线的构造手拉手对角互补半角中点辅助线三角形中线等腰三角形底边中点三角形中位线直角三角形斜边的中线1：△ABC中，AB=20，AC=12，求中线AD的取值范围旋转180°，构建中心对称，将三条相关线放到一个三角形中，找它们的关系已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFFEDABC如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，试判断线段BE、EF、FC的数量关系.在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=（AB2+AC2）.41已知△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD＝AB，求证：CD＝2CEDACBEDACBE已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEFABCEDFABCEDFABCED在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点求证：AM=ADABCDEFMMBCADEF问题1：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE．EMBCFNADEMBCFNAD问题二：如图，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；NMOACDBFENMOACDBFE问题三：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．FGBCADE在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，求证：AE⊥EB且AE=BE12ACDBEACDBEACDBE如图甲，操作：把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；GDACBFEMGDACBFEMGDACBFEM（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；GEDACBFMGEDACBFM（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．GEDACBFMGEDACBFM四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。（1）如图，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及EC/GC的值；（2）将图24-1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；ADCBFEGADCBFEG如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点E在AB上，F是线段BD的中点，连结CE、FE.（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．角平分线的辅助线构造(a)BAOPMN(c)BAOPMN(b)BOPMNA(d)QOPMN如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F⑴求证：CE=CF.⑵将上图中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE.如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE.求证：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)21BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其它条件不变；DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？截长补短若遇到证明线段的和差关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD.ABCDABCD在四边形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，AE是∠BAF的平分线.求证：AF=CF+AB.BCADEFBCADEFBCADEF如图，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．BDACPBDACP如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB－AC＞PB－PCABCDPABCDPABCDP正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分∠DNM。过E作EF⊥MN，垂足为F，请问MN、AD、EF有什么数量关系？已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，求证：BC+DC=AC.CABDCBDCABDCABDAD∥BC，点E在线段AB上，CE，DE分别为∠BCD和∠ADC的角平分线.求证：CD=AD+BC.CBADECBADECBADE如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；DACBEGDACBEG如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；DACBEGDACBEG如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.FDACBEGFDACBEGFDACBEG手拉手全等等边三角形等腰直角三角形等腰三角形（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥ACHFGEDABC在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，EBDAC（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHCHGADCE（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？手拉手全等条件ODCBA手拉手全等条件：（1）OA=OB；OC＝OD（2）∠AOB＝∠COD结论：（1）△OAC≌△OBD（SAS）（2）AC与BD夹角等于∠AOB（八字导角）如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；BAQCPEBAQCPE（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．ABCPEABQEPCABQCPEDABQEPC在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°α180°)得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，BE与FC相交于点H.（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系HFABCEDHFABCED（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：MN=FC;22HFABCEDMNHFABCEDMN（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：.HFABCEDHFABCEDHFABCED如图，将ABC△绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE△，连接ADDC、,若30DCB,AB=1，BC=3，CD=3，求ACEDCBA如图，在凸四边形ABCD中，30BCD,60DABADAB，．求证：222ACCDBC遇60°，造60°，构造等边三角形遇90°，转90°，构造等腰直角三角形遇等腰，转顶角遇中点，转180°，构造中心对称如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．已知：2,4PAPB，以AB为一边做正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1）如图，当45APB时，求AB及PD的长（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应的APB的大小在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；在此的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.PPFDECADECABB对角互补90°+90°任意角两个角互补120°+60°ABCD已知：∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，BD=a；（1）CD与AD的数量关系（2）AB、BC、BD之间的数量关系（3）四边形ABCD的面积ABCDABCD已知：∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，（1）CD与AD的数量关系（2）AB、BC、BD之间的数量关系（3）四边形ABCD的面积ABCDABCDABCDABCD（1）CD与AD的数量关系（2）AB、BC、BD之间的数量关系（3）四边形ABCD的面积ABCDABCD对角互补条件：（1）∠ABC+∠ADC=180°（2）BD平分∠ABC结论：（1）AD=CD（2）AB+BC=2BD·cos（1/2∠ABC）★条件（2）与结论（1）可互换已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PC与PB的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两