有理数-知识点+经典例题

1有理数考点1、正数和负数正数：大于零的数负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）注意：（1）0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点（2）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数例1、向北走2000米与向南走1000米，若规定向北走为正，则向北走2000米可记作，向南走1000米记作，原地不动课记作例2、七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—15分，—4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？例3、观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、第2010个的数是什么？1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、、、……2）、—1、21、—3、41、—5、61、—7、81、、、……易错点：1）误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数例：a一定是正数吗？2）对于“0”的含义理解不准确例：下列说法错误的是（）A、0是自然数B、0是整数C、0是偶数D、海拔0米表示没有海拔考点2、有理数1、有理数的分类按定义分：负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0按性质符号分：有理数负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0注意：1、有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。2、0是整数不是分数例1、把下列各数填在相应的集合内：π，41错误!未找到引用源。，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，错误!未找到引用源。，0.618，10整数集合：｛…｝分数集合：｛…｝非负数集合：｛…｝例2、下列说法正确的是（）A有理数分为正数和负数B有理数-a一定表示负数C正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数D有理数包括整数和分数22、数轴（重点）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致例1、图中哪一个表示数轴？并说出理由。例2、请画出一条数轴，并且在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5，23，0，+2，0.5.例3、如图所示，在数轴上，点A,B,C,D依次表示1.5，-2，2，-2.5。说出各点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？1.5CAB-2.5D-3-2-13210例4、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为（）A、30B、50C、60D、80例5、如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为___________例6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上，文具店位于书店西边20m处，玩具店位于书店东边100m处。小明从书店沿街向东走了40m，接着又向东走了60m，你知道此时小明的位置在哪吗？例7、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，求ccbbaa的值ab0c31、相反数（重点）定义：只有符号不同．．．．的两个数叫做相反数．．．。（在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。）相反数的表示方法及多重符号的化简：（1）0a,00a,00,0则当则当则－当aaaa例1、有理数31的相反数是（）（A）31（B）31（C）3（D）–3例2、a的相反数是，-a的相反数是，0的相反数是例3、若a和b互为相反数，则a+b=例4、如果0ba，那么a，b两个实数一定是（）A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数例5、如果a与1互为相反数，则|2|a等于（）A．2B．2C．1D．14、绝对值（难点）绝对值的定义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记为∣a∣，读作：a的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身2）一个负数的绝对值是它的相反数3）0的绝对值是0绝对值的计算规律：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等（2）若ba，则a=b或a=-b；（3）若0,0,0baba则例1、如果|-a|=-a，下列成立的是（）A.a0B.a≤0C.a0D.a≥0例2、的绝对值是8。例3、若11b，则b=，若aa则,06，若aa，则a0例4、若5,3ba，则ba等于（）A、2B、8C、2或8D、81或4例5、已知0122bab(1)求a,b的值(2)求200820082ab的值(3)求2008200812211111bababaab例6、计算：991100131412131121例7、272135（2）21354543例8、根据0a，解答下列问题（1）当x为何值时,2x有最小值？最小值是多少？（2）当x为何值时,43x有最大值？最大值是多少？5例9、已知某零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下表：序号12345直径长度（mm）+0.1-0.15+0.2-0.05+0.25（1）试指出哪件样品的大小最符合要求；（2）如果规定偏差的绝对值在0.18mm之内是正品，偏差的绝对值在0，18mm—0.22mm之间是次品，偏差绝对值查过0.22mm是废品，那么上述5件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？易错点：1）画数轴时，缺少要素2）误认为aa，则a0;若aa，则a0例：已知aa，则a的值是（）A、正数B、负数C、非正数D、非负数3）相反数和倒数的定义相混淆5、有理数的大小比较（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数（2）两个负数，绝对值大的反而小例1、比较下列有理数的大小-（-5）和-5-（+3）与04354与14.3与例2、若m0，n0，且|m||n|，用“”把m、m、n、n连接起来。考点3、有理数的加减（重难点）1、有理数加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得零；（4）一个数与零相加，仍得这个数。6例1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（）。A.都是正数B.一个是正数，一个是零C.两个数异号，且正数的绝对值较大D.以上三种情况都有可能例2、简单计算（1）134.52；（2）4.56.7；（3）2517；（4）5121313（5）（-51）+（+37）；（6）（+15）+（-15）；（7）（+4.25）+114；（8）114233（9）15+0；（10）-4.7+0；（11）0+0例3、复杂有理数计算（1）（+26）+（-14）+（-16）+（+18）（2）1125.5233)75()65()72(61)3(67314213)4(5116(5)2.391.573527.61321.5767677例4、已知132x与122y互为相反数，求xy的值。例5、小明在一条南北方向的公路上散步，他从A地出发，每10分钟记录自己的散步情况（向南为正方向，单位：米），1小时后停下来时记录如下：-1008，1100，-976，1010，-827，946此时他在A地的什么方向，距离A地多远？小明散步共走了多少米？例6、a与b互为相反数，b与c相乘的积是最大的负整数，d与e的和等于-2，则edbcbabc的值是多少？例7、读一读：式子“1+2+3+4+5...+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为简单起见，我们可以将“1+2+3+4+5...+100”表示为1001nn，这是求和符号。例如“1+3+5+7+9+...+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501)12(nn。通过对以上材料的阅读，请回答问题：（1）2+4+6+8+...+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和求和符号表示为_____；（2）计算：313nn______（填写最后的计算结果）。8例8、从图（1）中找规律，并在图（2）填上合适的数2、有理数减法①有理数减法法则中，字母a,b表示任意有理数；0减去任何数得这个数的相反数。②有理数的减法可转化为有理数的加法进行计算，不要将减法法则与加法法则中异号两数相加混淆。③计算有理数的减法时，要把减号变为加号，把减数变为它的相反数，即必须同时改变两个符号：一是运算符号由“-”变为“+”；二是减数的性质符号由正变为负或由负变为正。例1、下列说法正确的是（）A.两数相减，被减数一定大于减数B.0减去一个数仍得这个数C.互为相反的两个数差为0D.减去一个正数，差一定小于被减数例2、计算：（1）615312（2）7.2218（3）)5.28(5.28（4）)1312(0例3、列出算式并计算下列各题：（1）的相反数的差；的绝对值的相反数与323-31（2）潜水员从海平面以下24m处上升到海平面以下15m处，此潜水员上升了多少米？(1)-6-2-8-19-11-5(2)-4-14129例4、已知a0,b0,且,ba试判断a-b的符号。3、有理数加减的综合运用例1、计算：（1）)94(48.0)32(501（2）813414215874（3）1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+...+2005-2006-2007+2008+2009-2010.（4）201020091200920081...431321211例2、以地面为基准，A处高+2.5米，B处高为-17.8米，C处高-32.44m，问：（1）A处比B出高多少？（2）B处和C处哪个高？高多少？（3）A处和C处哪个低？低多少？例3、小亮做这样一道题：“计算3”，其中表示被污染看不清的一个数，他翻开答案知道该题的结果是6，那么表示的数是多少？例4、-a,-b在数轴上的位置如图，-b-a0化简：.ababa10例5、某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，实际每日产量与计划每日产量相比情况如下表：（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）星期一二三四五六日增减-5+7-3+4+10-9-25（1）求星期日生产摩托车多少辆？（2）本周总产量与计划产量相比是增加了，还是减少了？差是多少？（3）产量最多的一天与产量最少的一天的产量差是多少？考点4有理数的乘除、乘方1、有理数的乘法①两数相乘，同号得正，异号得负；②任何数与零相乘，都得零；③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。2、有理数除法①两数相除，同号得正，异号得负②零除以任何一个不为零的数，都得零；③除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）3、有理数的乘方负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数4、有理数