极限四则运算法则

极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若BxgAxf)(lim,)(lim，则)]()(lim[xgxf存在，且)(lim)(lim)]()(lim[xgxfBAxgxf。证明：只证BAxgxf)]()(lim[，过程为0xx，对0,01，当100xx时，有2)(Axf，对此，02，当200xx时，有2)(Bxg，取},min{21，当00xx时，有22)()())(())(()())()((BxgAxfBxgAxfBAxgxf所以BAxgxfxx))()((lim0。其它情况类似可证。注：本定理可推广到有限个函数的情形。定理2：若BxgAxf)(lim,)(lim，则)()(limxgxf存在，且)(lim)(lim)()(limxgxfABxgxf。证明：因为BxgAxf)(lim,)(lim，,)(,)(BxgAxf（,均为无穷小）)())(()()(BAABBAxgxf，记BA，为无穷小，ABxgxf)()(lim。推论1：)(lim)](lim[xfcxcf（c为常数）。推论2：nnxfxf)]([lim)](lim[（n为正整数）。定理3：设0)(lim,)(limBxgAxf，则)(lim)(lim)()(limxgxfBAxgxf。证明：设BxgAxf)(,)(（,为无穷小），考虑差：)()()(BBABBABABAxgxf其分子AB为无穷小，分母0)(2BBB，我们不难证明)(1BB有界（详细过程见书上）)(BBAB为无穷小，记为，所以BAxgxf)()(，BAxgxf)()(lim。注：以上定理对数列亦成立。定理4：如果)()(xx，且bxax)(lim,)(lim，则ba。【例1】baxbxabaxbaxxxxxxxxx00000limlimlim)(lim。【例2】nnxxnxxxxx0]lim[lim00。推论1：设nnnnaxaxaxaxf1110)(为一多项式，当)()(lim001101000xfaxaxaxaxfnnnnxx。推论2：设)(),(xQxP均为多项式，且0)(0xQ，则)()()()(lim000xQxPxQxPxx。【例3】31151105(lim221xxx。【例4】33009070397lim53530xxxxx（因为03005）。注：若0)(0xQ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。【例5】求322lim221xxxxx。解：当1x时，分子、分母均趋于0，因为1x，约去公因子)1(x，所以53322lim322lim1221xxxxxxxx。【例6】求)1311(lim31xxx。解：当13,11,13xxx全没有极限，故不能直接用定理3，但当1x时，12)1)(1()2)(1(1311223xxxxxxxxxx，所以11)1()1(2112lim)1311(lim22131xxxxxxx。【例7】求2lim22xxx。解：当2x时，02x，故不能直接用定理5，又42x，考虑：04222lim22xxx，2lim22xxx。【例8】若3)1sin(lim221xbaxxx，求a,b的值。当1x时，1~)1sin(22xx，且0)(lim21baxxx10,=(1)abba222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)xaxbxaxaxxaxxxxx2212lim3124,5xxaxbaxab【例9】设nmba,,0,000为自然数，则时当时当时当mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx0lim00110110。证明：当x时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：mmnnmnxmmmnnnxxbxbbxaxaaxbxbxbaxaxa1010110110limlim时当时当时当mnbamnbamnba00000000000001000000【例10】求)21(lim222nnnnn。解：当n时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：原式2121lim2)1(1lim)21(1lim22nnnnnnnnnn。【例11】证明xxxx,1lim为x的整数部分。证明：先考虑xxxxx1，因为xx是有界函数，且当x时，01x，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得1lim0)1(lim0limxxxxxxxxxx。