12-2可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程

第二节可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程第十二章二、一阶线性微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程)1.1()()(ddygxhxy——可分离变量的微分方程.类型1求解法：设函数)(yg和)(xh是连续的,xxhygyd)()(d时，当0)(1yg)2.1(d)()(d)1.1(xxhygy变量分离设函数)(yG和)(xH依次为)(1yg和)(xh的原函数,则CxHyG)()(可以验证:(1.3)式为微分方程(1.1)的(隐式)通解.).(为任意常数C)3.1(事实上，)1.1()(:是若由以上推导可知xy的解，则它必满足(1.3);反之，若)(xy时，当0)(20yg.)1.1(0的解也是yy是由(1.3)确定的隐函数，即CxHxG)()]([则由隐函数求导法，得)()()()(xHxyGxy)()()(1)(xhxygxy)]([)()(xgxhx即注若题目只需求通解，则不必讨论.0)(情形yg例1求微分方程.2dd的通解xyxy解分离变量,d2dxxyy两端积分,d2dxxyy,ln12Cxy.2为所求通解xCey,21xCeey,21xCeeyC例2求微分方程.2cos2cosdd的通解yxyxxy解,02cos2cosddyxyxxy,02sin2sin2ddyxxy,d2sin2sin2dxxyy2cot2csclnyyCx2cos2为所求通解.二、一阶线性微分方程)1.2()()(ddxQyxPxy类型2,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当例如,dd2xyxy,sindd2ttxtx———一阶线性微分方程)2.2(0)(ddyxPxy,d)(dxxPyy,d)(dxxPyy,lnd)(||lnCxxPy齐次线性方程的通解为：.d)(xxPCey1º齐次线性方程：求解法:分离变量：1.常数变易法2º非齐次线性方程：).()(ddxQyxPxy)()(待定将变易xCC作变换xxPexCyd)()(,)]([)()(d)(d)(xxPxxPexPxCexCy得代入原方程和将,yy),()(d)(xQexCxxP可分离变量方程,~d)()(d)(CxexQxCxxP积分得一阶非齐次线性微分方程(4.1)的通解为:xxPxxPeCxexQyd)(d)(]~d)([.~为任意常数其中C2.常数变易公式的通解为：)1.2()3.2(]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP1常数变易法的实质:注未知函数的变量代换法，通过变量代换将原方程化为可分离变量的方程.2在常数变易公式(2.3)中，应将积分xexQxxPxxPd)(,d)(d)(.原函数理解成被积函数的某个3特解公式的特解为：满足初始条件00)()1.2(yxy)4.2(]d)([0d)(d)(000yxexQeyxxxxPxxPxxxx4(2.1)的解的结构)3.2(]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxPxexQeCexxPxxPxxPd)(d)(d)(d)(非齐次线性方程(2.1)的特解对应齐次线性方程(2.2)的通解.1的通解求方程xeyxyx,1)(xxP,)(xexQxCxexeeyxxxxxdd1d1CxexeexxxdlnlnCxexxd1.1Cexx解例5通解：Cxxxexxd1满足：设)(xf,1)(d)()(12xfttfttfx).()(xfxf可导，求且例6解1)1(,1fx得令”：“xdd)()()(2xfxfxxf),(xfy令1)1(,2yyyxy则关于y非线性yxyyx1dd关于x为线性方程yxyyx1dd通解：]d[d)1(d)1(Cyyeexyyyy]d[lnlnCyyeeyy]d1[Cyyyy)(Cyy得由,1)1(y0C即,2yxxy.)(xxf故所求1°分离变量;2°两端积分-------隐式通解；内容小结1.可分离变量方程的求解步骤:3°根据定解条件定常数.2.一阶线性方程方法1先解齐次线性方程,再用常数变易法；方法2用常数变易（通解）公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(例6-2上连续，且满足方程，在设函数0)(tfyxyxfetftyxtdd21)(22224224).(tf求分析由于所给关系式是未知函数的二重积分，积分化为二次积分，而积分限为的ｔ函数由二重积分的被积函数及积分域，将二重故通过求导可得出相应的微分方程.备用题解由于yxyxftyxdd21222422tf20d)2(2所以ttfetf2024d)2(2)(两边求导得).(88)(24tfttetfttf2020d)21(d即248)(8)(tπteπttfπtf其通解为Ceteetftttttd824d88)()4(224Ctet，因此代入上式得又题设知1,1)0(Cf.)14()(242tettf例6-5使曲试确定连续已知)(,)(,1)(xxyxxxyxxLd)(d)]([sin.与路径无关解PQ依题设，知xQyP)(1)]([sinxxxx即得1)(,sin)(1)(xxxxx?)(x线积分]dsin[)(d1d1Cxexxexxxxx]dsin[lnlnCxexxexx]dsin[1Cxxxxx)cos(1Cxx得由,1)(1C)cos1(1)(xxx