抛物线的简单几何性质

一、复习回顾：.1物线，则这个点的轨迹是抛是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点elFMl.FMd.1.le定点F是抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，常数＝是抛物线的离心率xOyK－－抛物线标准方程0p是焦准距22ypx1、抛物线的定义：标准方程图形焦点准线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0,2(pF.yxoF2px)2,0(pFxoyF2py)0(22ppxy)0,2(pF2px)0(22ppyx)2,0(pF2py2、抛物线的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：方程性质)0(12222babyax)0,0(12222babyax图形范围bybaxa,Ryaxax,或对称性轴及原点对称关于yx,轴及原点对称关于yx,顶点坐标),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA)0,(),0,(21aAaA叫短轴叫长轴2121,BBAA叫虚轴叫实轴2121,BBAA离心率)10(,eace)1(,eace结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.（0,0）二、讲授新课：.yxoF（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。（5）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。xOy00(,)PxyF02pPFx（6）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径长为2p(,)(,)22ppApBp、AB通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦：焦点弦公式：),(11yxB),(22yx12pxx思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.16三、典例精析例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.1lyx的方程为：2216104yxxxyx解法1F1(1,0),1212322322222222xxyy或221212AB=(x-x)+(y-y)=81lyx的方程为：2216104yxxxyx22[]=116418AB22121214kxxxx解法2F1(1,0),1212⇒x+x=6,xx=1例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.2216104yxxxyx解法31212⇒x+x=6,xx=1|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=812345678-1-2123456xyOABFA1B1例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.√例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.解法4845sin22sin222pAB一、复习回顾：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：1、根据几何图形判断的直接判断2、直线与圆锥曲线的公共点的个数Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的个数形数判断直线与双曲线位置关系的步骤：把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经接触了一些,在我们看来就是三句话的实践:(一)设而不求;(二)联立方程组,根与系数的关系;(三)大胆计算分析,数形结合.这一节我们来做几个关于直线与抛物线的问题……Fxy问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？二、讲授新课：判断直线与抛物线位置关系的步骤：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：思考1:(课本第71页例6)已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?解:依题意直线l的方程为1(2)ykx联立21(2)(*)4ykxyx你认为是消x呢,还是消y呢?消去x可得244(21)0kyyk(Ⅰ)当0k时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点当0k时,方程(Ⅰ)的根的判别式△=216(21)kk①当△=0时,即0k1或2………………-1或思考1:(课本第71页例6)已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?几何画板演示判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：1.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有(）（A）1条(B)2条(C)3条(D)无数多条xy82C.P例2求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.2xy2由{得{0x2xy20x0y故直线x=0与抛物线只有一个交点.解:(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0.1kxy2xy221当k=0时，x=,y=1.故直线y=1与抛物线只有一个交点.由方程组{消去y得011)x2(kxk22(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是y=kx+1,xyO当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则.21k0,4k1)4(kΔ22此时直线方程为1.x21y综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或1.x21y26,41yxM4、已知抛物线求以点，为中点的弦所在直线的方程。2.四、点与抛物线点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断方法.1.点在抛物线外2.点在抛物线上3.点在抛物线内y02-2px00y02-2px0=0y02-2px00五、抛物线的焦点弦常见结论已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)|AB|=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2θxOyABFθ4.在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.2xy5|31)(x|5|4x2x|5|4y2x|d22解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离2xy此时y=1，所求点的坐标为P(1,1).53dmin当且仅当x=1时，，法二:观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.2xy联立得设切线方程为2x-y+C=0，0C2xx2)1(由得C=-10C)(42)(Δ2又由（）得x=1，∴y=1.1故所求点的坐标是（1，1）.点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0xyO2yxp5.在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.2xy解：设AB的方程为y=x+b,课堂练习:3.已知正方形ABCD的一边CD在直线4yx上,顶点AB、在抛物线2yx上,求正方形的边长.由2yxbyx消去x得y2-y+b=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,∴211ABk21112()4yyyy=28b，又AB与CD的距离d=42b,由ABCD为正方形有28b=42b,解得b=-2或b=-6.∴正方形的边长为32或52.