数列的极限

1数列的极限【知识概要】1.数列极限的定义1）数列的极限，在n无限增大的变化过程中，如果数列{}na中的项na无限趋向于某个常数A，那么称A为数列{}na的极限，记作limnnaA.换句话说，即：对于数列{}na，如果存在一个常数A，对于任意给定的0，总存在自然数N，当nN时，不等式naA恒成立，把A叫做数列{}na的极限，记为limnnaA.注：①理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近；②有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题；③这里的常数A是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n；④研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤“无限趋近于A”是指数列{}na后面的项与A的“距离”可以无限小到“零”.例1判断下列结论的正误（1）若lim0nna，则na越来越小；（2）若limnnaA，且{}na不是常数数列，则na无限接近A，但总不能达到A；（3）在数列{}na中，如果对一切nN总有1nnaa，则{}na没有极限；（4）若limnnaA，则lim0nnaA.解：（1）不正确，例如：1nan，1nnaa（2）不正确，例如：2)21nnannn，（为偶数，（为奇数），lim2nna.（3）不正确，例如：11nan，1nnaa，但lim1nna.（4）正确22.数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果limnnaA，limnnbB，那么①lim()limlimnnnnnnnababAB；②lim()limlimnnnnnnnababAB；③limlim(0)limnnnnnnnaaABbbB.特别地，如果C是常数，那么lim()limlim.nnnnnCaCaCA2）四种常见的重要极限（1）limnCC（2）1lim0nn（3）lim0(11)nnqq（4）1lim(1)nnen例2下列命题中正确的命题是（）（A）若limnnaA，limnnbB，则limnnnaAbB（B）若lim0nna，则lim()0nnnab（C）若22limnnaA，则limnnaA（D）若limnnaA，则22limnnaA解：选（D）例3已知lim[(21)]2nnna，求limnnna.解：1limlim(21)lim21212nnnnnnnanan例4求下列数列的极限（1）若*621,16()1,72nnnnanNn，则lim0nna，lim37nnS.（2）22211lim232nnnnn；3（3）lim(11)1nnnn；（4）211lim21nnnne；（5）1111lim(1)(1)(1)(1)0;234nn（6）21231lim2nnn.3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题。一般来说，关于n的数列通项()nafn，如果仅仅只在底数的位置中含序号n，往往变形为1()Fn，利用1lim0nn求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号n，往往变形成()nFq，利用lim0nnq求解；如果既在底数的位置中含序号n，又在指数的位置中含序号n，往往变形成1[(1)]nFn的形式，利用1lim(1)nnen求解.同时遵循先化简再变形的原则.例5若lim(34)8,lim(6)1nnnnnnabab，求lim(3).nnnab解：根据3(34)(6)nnnnnnabxabyab求解，可得lim(3)3.nnnab4【课堂练习】1.下列命题正确的是（）①数列31n没有极限②数列nn21的极限为0③数列n233的极限为3④数列nn32没有极限A.①②B.②③④C.①②③D.①②③④奎屯王新敞新疆答案：D2.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是()A.0B.1C.2D.3答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是an=n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是an=nn2)1(1它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|an－0|=|nn2)1(1－0|=n21可以任意小.故选B.3.已知1ab，则nlim1111nnnnbaba的值是(B)A.－abB.a1C.bD.不存在4.设nS是无穷等比数列的前n项和,若limnnS=41,则首项1a的取值范围是(C)A.（0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）5.在数列{}na中，若lim(31)1nnna,则limnnna=___________.6.设数列{}na,{}nb均为等差数列，（公差都不为零），nlimnnba=3,则nlimnnanbbb3221=___________.7.已知nlim21()01nanbn，则a=___________,b=___________.58.已知无穷等比数列{}na的首项为1a，公比为q且有nlim（21)21nqqa，则首项1a的取值范围是___________.答案：5.316.927.1－18.21＜a1≤23,且a1≠1.9.若021limnnaa，则a的取值范围是（）A．1aB．1a或31aC．311aD．31a或1a分析：由0limnna（a为常数），知1a，所以由已知可得121aa，解这个不等式就可求得a的取值范围．解：由021limnnaa，得121aa，所以aa21，两边平方，得：224)1(aa，0)1)(13(,01232aaaa，所以1a或31a．答案B10.在数列{}na中，已知113a，且12(2)nnnaSSn，求2limnnnaS.解：222(21)limlim2(21)(21)nnnnanSnn11.已知22()4fxx(x＞0),设2*111,()2()nnaafanN，求：(1)数列{}na的通项公式；（2）nlim22232244nnananbb解：（1）由an+12·f(an)=2,得an+12·422na=2∴an+12－an2=4∴{an2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an2=1+4(n－1)=4n－3∵an＞0∴an=34n6(2)原式=nlim3424342324nnnnb当|b|＜2,即－2＜b＜2时，原式=－31当|b|=2，即b=±2时，原式=57当|b|＞2，即b＞2或b＜－2时，原式=b2综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)bbbbb或12.如图，在边长为I的等边△ABC中，圆1O为△ABC的内切圆，圆2O与圆1O外切，且与AB、BC相切，…，圆1nO与圆nO外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆nO的面积为na，*()nN.(Ⅰ)证明{}na是等比数列；（Ⅱ）求123lim()nnaaaa的值.解：（Ⅰ）记rn为圆On的半径.r1=21tan30°=63l，nnnnrrrr11=sin30°=21∴rn=31rn－1(n≥2)∴a1=πr12=122l91)(11nnnnnrraa∴{an}成等比数列.（Ⅱ)∵an=(91)n－1·a1(n∈N)∴nlim（a1+a2+…+an)=32391121la.713.设数列{}na满足32123aaa+…+nan=a2n－1,{}na的前n项和为*(0,1,)nSaanN.(1)求{}na；(2)求nlimnaSnn)1(2；（3）求证：12(2)(1)(2)2(1)nnnnnannanna解：（1）∵a1+naaan3232=a2n－1∴a1+132132naaan=a2(n－1)－1(n≥2)∴a2(n－1)－1+nan=a2n－1∴an=n(a2n－a2n－2)(n≥2)∵a1=a2－1∴当n=1时，等式亦成立.∴an=n(a2n－a2n－2)n∈N*(2)由（1）an=n(a2n－a2n－2)=n(a2－1)a2n－2∴Sn=(a2－1)(1+2a2+3a4+…+na2n－2)a2Sn=(a2－1)(a2+2n4+…+(n－1)a2n－2+na2n)a2Sn－Sn=－(1+a2+a4+…+a2n－2－na2n)(a2－1)(a2－1)Sn=－(1122aan－na2n)(a2－1)∴Sn=－)1(212aan+na2nnlimnaSnn)1(2nlimnaaanannn)1(112222=nlim［)1(11222anaann］=220,(1)1,(1)aa．(3)若要证（n+2)(n+1)an+n(n+2)an+1＜2n(n+1)an+2，只要证11nanann＜2·22nan∵2·1212nananannn=2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222naannaannaannnn=(a2－1)·a2n－2(2a4－1－a2)=(a2－1)2·a2n－2(2a2+1)＞0∴原不等式成立.8【真题演练】14.求11122lim11144nnn的值为（）(A).0(B).32(C).12(D).1答案：(B)15.设等差数列{}na的前n项和为nS，若6312,aS则2limnnSn________.答案：1