史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

-1-二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy的性质（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数2axy的图像与a的符号关系.①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对-2-称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).-3-（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121第二部分典型习题１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（D）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）Ａ．ab＞0，c＞0Ｂ．ab＞0，c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0CAEFBD第２,３题图第4题图-4-３.二次函数cbxaxy＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0４.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EFBC//，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（Ｄ）DO424O424O424O424AyxBC2482,484EFxEFxyxx５.抛物线322xxy与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4．6.已知二次函数11)(2k2－－＋＝xkxy与x轴交点的横坐标为1x、2x（21xx＜），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当2xx＞时，y＞0；③方程011)(22＝－＋xkkx有两个不相等的实数根1x、2x；④11＜x，12＞－x；⑤22114kxxk＋－＝，其中所有正确的结论是①③④（只需填写序号）．7.已知直线02bbxy与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为cxbxy102.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线bxy2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线bxy2的解析式.解：（1）102xy或642xxy将0)b（，代入，得cb.顶点坐标为21016100(,)24bbb，由题意得21016100224bbbb，解得1210,6bb.（2）22xy8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4．（1）求此二次函数的解析式；-5-第9题（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为cbxaxy2,则43005)2()2(22cbacbacba,即1423babac,解得321cba故所求的解析式为:322xxy.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是1x或3x．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶22102421612xxxy10.已知抛物线4)334(2xaaxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点C的坐标为（0，4）．设点A、B的坐标分别为（1x，0），（2x，0），yOx-6-由04)334(2xaax，解得31x，ax342．∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（a34，0）．∴|334|aAB，522OCAOAC，22OCBOBC224|34|a．∴9891693432916|334|2222aaaaaAB，252AC，1691622aBC．〈ⅰ〉当222BCACAB时，∠ACB＝90°．由222BCACAB，得)16916(259891622aaa．解得41a．∴当41a时，点B的坐标为（316，0），96252AB，252AC，94002BC．于是222BCACAB．∴当41a时，△ABC为直角三角形．〈ⅱ〉当222BCABAC时，∠ABC＝90°．由222BCABAC，得)16916()98916(2522aaa．解得94a．当94a时，3943434a，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．〈ⅲ〉当222ABACBC时，∠BAC＝90°．由222ABACBC，得)98916(251691622aaa．解得94a．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41a时，△ABC为直角三角形．11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.-7-（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.解:(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0).则x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的两根.∵x1＋x2＝m,x1·x2=m－2＜0即m＜2;又AB＝∣x1—x2∣＝121245xxxx2（+）,∴m2－4m＋3=0.解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值为1.（2）M(a，b)，则N(－a，－b).∵M、N是抛物线上的两点,∴222,2.amambamamb①②①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.∴2am.这时M、N到y轴的距离均为2m,又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2×12×（2－m）×2m=27.∴解得m=－7.12.已知：抛物线taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1，0）．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．∵抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．NMC