刚体定轴转动的物理量及运动学公式

12§5-1概述一、刚体1定义：在任何外力作用下都不改变形状和体积的物体。2、说明：（1）刚体是一个理想的物理模型。（2）刚体可看成是一种特殊的质点系。*任意两质元（点）之间相对位置保持不变的质点系。*质点力学中对质点系的所有定理定律也适用于刚体力学。(一般和特殊的关系)31、平动*定义:运动过程中刚体内任意两点间的连线始终保持平行的运动叫作平动。二、刚体的运动：*特征：刚体上所有点运动的运动情况都相同.*方法：(用质心运动来表示刚体平动)质点力学。4一般转动：转轴随时间改变(瞬时转轴)定轴转动：转轴不随时间改变(固定转轴)*刚体定轴转动的一些特点：•各质点都作圆周运动•各质点圆周运动的平面(转动平面)垂直于轴线，圆心在轴线上•各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。2、转动*定义:刚体中所有的点都绕一条直线作圆周运动。这条直线叫作转轴。53一般运动:可看成平动和转动的结合61角位置θ·pro转动平面§5-2刚体定轴转动的运动学一、描述刚体定轴转动的物理量。*规定：逆时针转动为正。顺时针转动为负。*单位：rad*刚体运动学方程：)(t2角位移dθ73角速度ωdtdttlim0＝(1)定义式右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的拇指即为角速度的方向。*用正负号表示角速度方向.定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向.*单位：srad/ω*角速度与转速的关系2n*角速度是矢量.方向用右手螺旋法则确定。(2)说明84.角加速度(1)定义式220limdtddtdtt＝*用正负号表示角加速度方向.定轴转动的角加速度仅有沿转轴的两个方向。*单位：2/srad*角加速度是矢量(2)说明922022210ttt二、匀加速转动的三个公式：1匀加速转动：=恒量2初始条件：0,0,0t3匀变速转动的三个公式：4注意公式的适用条件:匀加速转动10定轴,v三、线量和角量的关系：rv2nrardtdvat刚体rimio矢量式标量式rv11例：一半径为0.1m的转轮，绕定轴转动，运动方程为=2+4t3（SI），求（1）t=2s时转轮的角速度和角加速度。（2）t=2s时边缘上一点的速度和加速度。解：)srad()srad(tdtdtdtd)(tt22122484824121)sm(.aaa)sm(.ra)sm(.ra)sm(.rv)(nn22222215230423084842本题目的:掌握角速度角加速度定义式及角量与线量关系式12例题、一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s匀减速地降到10rad/s。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解根据题意，角加速度为恒量。(1)2rad/s1515100t－(2)rad5.62)1(215102222025秒内转过的圈数圈。1014.325.622N(3)s1011000rad/s1000t本题目的:掌握匀变速转动的三个公式13作业P2845.2141、问题引入:转动状态改变的原因(以门为例)外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置均有关。•力和平行转轴：转动状态不改变•力作用线通过转轴:转动状态不改变•力离转轴远：容易改变•力离转轴近：不易改变2、转动状态改变的原因:受到力矩作用§5.3刚体的定轴转动定律一.力对转轴的力矩15Z转动平面rAFMrFMZM3.力对转轴的力矩O*定义：力对O点的力矩在通过O点的转轴上的分量称为力对转轴的力矩kMjMiMMzyxFrM16FrM方向垂直转轴沿转轴Z的分量为零?1Fr转动平面1FF2F)(21FFr21FrFrr*公式由来:不在转动平面内的力分解为在转动平面内的力和垂直转动平面的力2rF方向沿转轴Z的方向?即为力对转轴Z的力矩.(用矢积定义判断)(用矢积定义判断)2FrM17*力矩是矢量.但可用+、-号表示方向。转动平面1FF2Frα*合力矩等于各分力矩的代数和*表述：对转轴的力矩是矢径与转动平面内的力的矢积。4说明FrM*F是转动平面内的力18二.刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：ωOiFifiiimir对刚体中任一质量元im-外力iF-内力ifiiiimafF采用自然坐标系，上式切向分量式为：sinsiniiiiiiiiFfmamrO’1、公式由来：19用乘以上式左右两端：ir2sinsiniiiiiiiiFrfrmr刚体上每个质点可写出上述类似方程，相加2111sinsin()NNNiiiiiiiiiiiFrfrmr0sin1Niiiirf刚体的合内力矩为零刚体合内力矩刚体合外力矩20刚体合内力矩为零的证明*任一对内力的合力矩为零。0sinsin11212211dfdfdfdfrfrfM*由于内力总是成对出现，所以合内力矩为零。f2f1r1r2do21211sin()NNiiiiiiiFrmr得到：刚体定轴转动定律1sinNiiiiMFr2iiiJmr刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。2、表述：JM221、定义刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。2、转动惯量的计算iiirmJ2＝2iirmJ（1）质量离散分布。三、转动惯量23例：如图，三个质点用三根刚性轻杆连结成刚体，求（1）绕通过A点，垂直于纸面的转轴的转动惯量。（2）绕通过B点，垂直于纸面的转轴的转动惯量。ABCabcm1m2m3解：根据定义式计算.222123222120cmbmmcmbmmJriiA232123222120cmamcmmamrmJiiB本题目的:掌握质点型刚体转动惯量的计算方法24(2)质量连续分布。*思路:刚体看成由许多质点组成，求出每一质点的转动惯量,然后叠加。dmrJ2odmrdmrdJ2*任一质元的转动惯量*整个刚体的转动惯量*积分区域为刚体所在区域。25*由刚体形状决定积分性质QdVdsdl线分布面分布体分布dVdmdSdmdldmdmrJ226例、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。(P258例5.2)RO解：222mRdmRdmRJdm本题目的:掌握质量连续分布刚体转动惯量的计算方法dmRdJ227例、求质量为m、半径为R均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。(P258例5.3)解：取半径为r宽为dr的薄圆环,rdrdm2drrdmrdJ322403212RdrrdJJR2RmRrdr221mRJ本题目的:掌握利用已知模型求质量连续分布刚体转动惯量的计算方法283、说明(1)转动惯量是标量(2)单位：kg·m2(3)影响刚体转动惯量的因素•刚体的总质量；•刚体的质量分布；•转轴位置。(4)只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量29cd若有任一轴与过质心的轴平行且相距d，刚体对其转动惯量为:。2mdJJC4平行轴定理(1)表述(2)说明：*两轴必须平行。*其中一轴必须通过质心。2mdJJc30例如图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L,球半径为R）231LmJLL252RmJOOC22)RL(mJdmJJOOCOOCO2225231)RL(mRmLmJJJOOLOLLmOm解：本题目的:掌握平行轴定理31作业P2856,8,932一、对转动定律的说明：JM2、M，J，必须相对同一转轴。3、M与是瞬时关系。M是合外力矩。J是转动惯量，是角加速度1、公式中各符号的意义。4、M与的方向相同。二、转动惯量的意义：表示转动惯性大小的物理量。§5.4转动定律应用举例33三、转动定律的应用主要步骤：1、只有刚体（转动）的问题*确定研究对象，分析所受力矩和转动情况。*用转动定律列式。*解上述方程。主要思路步骤34例.一木棒可绕其一端在竖直平面内自由转动，若把棒拉至水平位置后任其向下自由摆动，则木棒的运动是：（A）匀角速转动；（B）匀角加速转动；（C）角加速度越来越大的变加速运动；（D）角加速度越来越小的变加速运动。（D）可见角加速度随着θ角的增大而减小θmgJM根据转动定律，有：cosmgL21MJmgLcos21分析：当棒转到θ角位置时，棒所受到的外力矩为:35例.关于力矩有以下几种说法：（1）内力矩不会改变刚体对某个定轴的角加速度；（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为0；（3）质量相等、形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。在上述说法中：（A）只有（2）是正确的；（B）（1）（2）是正确的；（C）（2）（3）是正确的；（D）（1）（2）（3）都是正确的；（B）（3）错。质量相等、形状和大小不同的两个刚体，转动惯量不同，在相同力矩的作用下，角加速度不相等。36例.定滑轮半径为R=0.1m,对通过中心轴的转动惯量为.10123mkgJ一变力F=0.5t（N）沿切线方向作用在滑轮边缘上，使滑轮由静止开始转动。求它在t=1s末的角速度。解：JMdtdJRFdtd101t5.01.03FRtdt50d010tdt50dsrad25本题目的:掌握滑轮转动的计算问题37例.质量为m，长为L的匀质细杆，在水平面上可绕其一端O转动。初始角速度为.设杆与水平面之间的滑动摩擦系数为，求：0（1）杆所受的摩擦力矩M=?（2）设杆在转动过程中仅受摩擦力矩的作用，求杆在停止转动之前共转动了多少圈？dxx0o解（1）细杆质量线密度LmdxdmgdmxdM本题目的:掌握杆子的计算问题dMMmgLxdxgL21038odxx0JM2LgmLLmg23312122202停止时：0g3L20revg6L2n20思考：绕过质心的轴转动，上述各问如何？39例匀质圆盘的质量为m，半径为R，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速度ω0旋转到静止需要多少时间？grdmdM2222RmrdrrdrRmdSdmdrRrmgdM222本题关键:力矩的计算解:mgRdrRrmgMR32202240根据转动定律，得RgmRmgRJM3421322t0当圆盘停止转动时，ω=0，则得gRt430041*对质点或平动物体，用牛顿第二定律列式。*列出加速度和角加速度之间的关系式。*解上述联立方程组。2、刚体（转动）和质点（平动）的联体问题（主要是包含有滑轮的装置）*确定研究对象，进行受力分析和力矩分析。*对转动物体，用转动定律列式。主要思路步骤对质点（平动物体）进行受力分析和运动状态分析。对刚体（转动物体）进行力矩分析和转动状态分析。42例：一根轻绳绕在有水平转轴的定滑轮上，滑轮的质量为m，绳下端挂有一物体。物体所受的重力为P，滑轮的角加速度为。现在将物体去掉，代之以与P相等的力直接向下拉绳，滑轮的角加速度将：（A）不变（B）变小C变大（D）无法确定答案：