分岔理论

chaoschaos分岔理论(Ⅰ)第讲chaoschaos分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。我们将重点研究非线性方程（代数方程，微分方程，积分方程等）解的定性数学理论。主要是分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。chaoschaos从本质上分析，失稳是发生分岔的物理前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌理论的研究对象。典型的一维Logestic映射即对这种映射的描述。chaoschaos8.1分岔实例这里，我们先从几个实际例子出发讨论分岔现象。[例-1]Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题这是Euler在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。chaoschaos图8-1Euler杆chaoschaos考虑一端固定，另一端为自由的均匀直杆例子，如图8-1所示。Euler杆受到轴向压力（即问题的控制参数）。μ例子中，采用表示杆的切线与实轴之间的夹角。在压力较小时，杆保持直线平衡状态，即。然而，当压力超过临界值时，那么原来的平衡状态即失去了稳定性，于是杆发生了弯曲，这时，即如图8-1.θμ0=θμ2π0≠θchaoschaosEuler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值()()⎪⎩⎪⎨⎧===+••••0100sinθθθμθ(8-1)方程(8-1)所表示的是一个本征值问题。当时，其对应的线性方程是1θ()()⎪⎩⎪⎨⎧===+••••0100θθμθθ(8-2)chaoschaos其解的一般表示是xAxAμμθsincos21+=(8-3)不难看出，当不是本征值时，μ0≡θ(8-4)它表示Euler杆不弯曲状态。chaoschaos只有当为本征值，即μ0sin=μ(8-5)这时2πμ=(8-6)表示一个本征值。图8-2表示和的关系。θμchaoschaos图8-2超过时的分岔μ2πchaoschaos当时，杆保持着原来的直线平衡稳定态，即；当后，原来的直线变成不稳定态，从而分岔出稳定的弯曲状态，即。2πμ≤0=θ2πμ0=θ0≠θ由图可见，特别有意思的是，Euler杆向哪一边弯曲是一不确定问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始扰动和涨落。chaoschaos[例-2]双星裂变双星裂变理论是由Newton最早在关于地球形状的研究中撰写的工作。当时很多人对地球的形状究竟是长椭球（东西扁）还是扁椭球（南北扁）意见纷争，各执一词。其中Cassimi认为是东西扁，而Newton则坚持认为南北扁。chaoschaos我们假设地球不转动（自转）时，它应该是一个圆球，其三个半轴均为相等，有。然而正由于地球有自转特性，所以首先肯定地球是扁的，见图8-3所示。cba==麦克劳林采用转动的角动量作为控制参数。他在1742年用非线性理论论证了Newton看法正确，即当很小时，地球是一个南北扁的扁球()，世称——麦克劳林椭球。μμcba=chaoschaos图8-3麦克劳林论证由于自转，地球是南北扁，即cba=chaoschaos1834年雅可比进一步研究，当时，麦克劳林椭球变得不稳定而分岔出一个——雅可比椭球()，见图8-4所示。384436.0μcbachaoschaos图8-4雅可比椭球()cbachaoschaos直到1883年，汤姆逊(Thompson)和泰特(Tait)在研究论证发现，当继续增大时，雅可比椭球再一次不稳定又分岔出中间薄两头厚的梨形球，见图8-5所示。μchaoschaos图8-5Thompson-Tait梨形球chaoschaos由此，产生了彭加勒的猜想：从雅可比椭球到Thompson梨形球可能是双星分裂的原因，这个问题至今仍在研究之中。chaoschaos哈勃望远镜拍下两星系“挽臂”旋转chaoschaos我们已经知道，动力系统在控制系统发生变化时，有可能出现分岔。从理论上来说，很多物理问题都可以用微分方程来描述。于是，很容易提出：对非线性方程所控制的动力系统时，系统是否存在定态。有多少定态，系统的行为是否稳定，系统随控制参数如何变化。8.2动力系统的实分岔点chaoschaos我们把带有控制参数的动力系统可表示为微分方程),(αxfdtdx=(8-6)上式中，是状态变量的向量，是控制参数，方程(8-6)式右边不含时间。这种系统称之为自治动力系统。所为定态的，即可认为状态稳定下来后，参量不再随时间变化，有1.带有控制参数动力系统αchaoschaos0=dtdx(8-7)(8-8)0),(=αxf也即为在研究的开始，我们即看重强调对于非线性问题，我们不再注意“解存在唯一性”，而把研究的注意力放到“解的多重性以及稳定性之间的转化”。chaoschaos最简单的动力系统是一维动力系统，有),(αxfdtdx=作为力学背景，定态解意味着速度和加速度为零的点。即该点的外力应为零。有0),(=αxf(8-9)(8-10)2.一维动力系统将力表示为位势的一维梯度，即xvf∂∂−=(8-11)chaoschaos(8-10)式表示的定态解可进一步写为0=∂∂xv(8-12)从数学上讲，意味着不满足隐函数定理。因为如果，则该点的力沿v的切线方向就有非零向量，这称为满足隐函数定理，见图8-6所示。0=∂∂xv0≠∂∂xvchaoschaos图8-6点,满足隐函数定理0x0≠∂∂xvchaoschaos平衡点的稳定性，由Jacobi矩阵本征值()来确定，见Appendix1。记及(8-9)式是一维情况，即Jacobi矩阵只有唯一元素，也就是矩阵本征值，且为实数，于是有当0Reλxf∂∂0∂∂xf时平衡态稳定，而在(8-13)0∂∂xf(8-14)时平衡态是不稳定的。chaoschaos故对于0=∂∂xf(8-15)正为由稳定变为不稳定的临界点。这个点我们即称之为实分岔点。再考虑到在分岔点处状态变量和参数的关系不唯一，进一步在实分岔点还有0=∂∂αf(8-16)归纳起来，实分岔点应同时满足(8-15)和(8-16)两式。图8-7中点即为分岔点。在点处有两条具有不同切线。chaoschaos图8-7解图中A点为分岔点α−xchaoschaos斜率解的分支曲线通过αddx如果动力系统满足⎪⎩⎪⎨⎧≠∂∂=∂∂00αfxf这种平衡点称之为极限点。通过极限点，曲线的变号。如图8-8中点(8-17)dxdα0=dxdα(8-18)chaoschaos图8-8解图中B点为极限点α−xchaoschaos此外，若分岔解中一支是极限的，则称之为分岔-极限点。如图8-9所示。图8-9解图中的C点为分岔一极限点chaoschaos3.复杂控制参数的动力系统最典型的复杂控制参数动力系统——即多参数动力系统。如有两个参数的系统。这时，我们可以固定，找出的分岔点和极限点；再固定，找出的分岔点和极限点。于是，最后在参数平面找出分岔曲线和极限曲线。图8-10即表示分岔图。βα,α−xαβ−xβα−)(βαβchaoschaos图8-10分岔图chaoschaos在分岔点曲线两侧拓扑结构完全不同，并发生了不稳定的变化；而极限点曲线两侧只是解的个数发生变化。第二种复杂系统是参数随时间变化，即。这是解的形态连续变化。例如，我们研究(解的模数)随变化的关系图即称之为演化图。如图8-11所示。α)(tαx)(tαchaoschaos是不稳定点图8-11()txα~注意到在图中只有稳定解才是按顺序相连的，如实线所示。而图上的虚线反映解在分支点的邻域，状态可以发生突变。chaoschaos我们知道Jacobi矩阵的本征值确定系统状态的稳定性。对于一般动力系统，控制参数的变化会引起本征值的变化，即α)(αλ当控制参数达到分岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它可以表现为在复平面的运动。有此也可以定义三种分岔原型。0μ)(μλ8.3三种分岔原型chaoschaos表8-1分岔的三种原型λ叉型分岔霍夫分岔鞍结分岔本征值为实数沿复平面的实轴由负变正穿过虚轴本征值为复数沿左半平面的由变穿过虚轴本征值为实数沿实轴左右趋于虚轴，即λλλ()0Reλ()0Reλλ0→λchaoschaos十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔，而霍夫分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它们在分岔点均满足：[]0)(Re≠μμλdd(8-19)(8-19)式表明，本征值在分岔点是运动的。chaoschaos1.叉型分岔典型实例是),()(23μμμxfxxxxx=−=−=&上式中，x是实数，是可正可负的参数，令x=0可知方程(8-20)定态平衡解是(8-20)μ⎩⎨⎧±===0000μμμ当和当xxx其平衡态的稳定性可由Jacobi矩阵的本征值特性，也即(8-22)式来决定。平衡态平衡态23xxfJ−=∂∂=μ(8-22)(8-21)chaoschaos见图8-12所示：图8-12叉型分岔——超临界情况chaoschaos在图中，实线和虚线分别表示稳定平衡态和不稳定平衡态。为了在物理图像上更好的显示在分岔点处平衡态的稳定情况，我们可以把f函数写成位势V形成，即xVxf∂∂−=),(μ(8-23)这时有24241xxVμ−=(8-24)00==xV上式已计及标准点chaoschaos图8-13位势的图象()μ~xV(a)0μchaoschaos图8-13位势的图象0(a)μ()μ~xVchaoschaos把和的图像表示在图8-13上。十分明显，位势V(x)的极小值对应稳定平衡态；而位势V(x)的极大值则对应不稳定的平衡态。0μ我们再考虑典型实例(8-20)的另一种对称情况，即),()(23μμμxfxxxxx=+=+=&(8-25)这时给出平衡点是0),(=μxf23x+=μλ⎩⎨⎧=−±==0000μμμxxx和而对应本征值则为0(8-26)(8-27)μchaoschaos如图8-14所示图8-14叉型分岔——亚临界情况chaoschaos对于图8-12，令时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当时，这一支就变得不稳定了；一旦当有新的平衡分支解又变成稳定的了，这种情况被称为超临界分岔。cμμ)0(=xcμμ=cμμ)(μ±=x反过来，若新的平衡分支解，在时是不稳定的，则称之为亚临界分岔。μ−±=xcμμ24241)(xxxVμ−−=(8-28)如果类似写出这种情况的位势函数则看的更为清楚，如图8-15所示。chaoschaos图8-15对称位势～的图象)(xVμ0μ(a)chaoschaos图8-15对称位势～的图象)(xVμ0μ(a)chaoschaos我们这里讨论控制参数的变化，系统还有可能出现时间周期态(即极限环)。请注意下面例子。μ令，，可见，是一个平衡点，其Jacobi矩阵是(8-29)()[]()()[]()⎩⎨⎧=+−++==+−+−=yxfyxyxyyxfyxxyx,,222122μμ&&0=x&0=y&0=x0=y⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂===μμ11002211yxyfxfyfxfJ(8-30)2.霍夫分岔chaoschaos很容易得出本征值有方程λ011det=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−λμλμi±=μλ(8-31)(8-32)由此可见，当参数由负变正时，分别沿实轴上方和下方穿过虚轴，点则由稳定的平衡点(吸引子)变成不稳定的平衡点(排斥子)。为了比较直观的看出分岔的具体形态，可将方程组(8-29)转化为极坐标形式，即μλ()0,0⎩⎨⎧==θθsincosryrx(8-33)chaoschaos于是有⎩⎨⎧−+=+=−+−=−=)(sincoscossin)(cossinsincos22rrrrryrrrrrxμθθθθθμθθθθθ&&&&&&求可采用r&⎩⎨⎧−+=+−+−=−)(sincossincossinsin)(coscossincossincos222222rrrrrrrrrrμθ