搜索
一次函数模型【教学目标】1.掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．2.培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．3.体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．【教学重点】一次函数的性质．【教学难点】对正比例函数和直线的关系的理解．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1.一次函数的概念：函数y＝(k，b为常数，k)叫做一次函数．当b＝时，函数y＝k叫做正比例函数．2.在直角坐标系中作出y＝3x的图象．教师屏幕显示内容，学生合作完成．结论：正比例函数是特殊的一次函数．师：函数y＝3x的图象是一条直线吗？教师引导学生在复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力．新课一、正比例函数y＝kx的图象是什么形状？以具体函数y＝3x为例，令x＝0，则y＝0，所以函数y＝3x的图象过点O(0，0)．又x＝1，y＝3是方程的另一个解，作点A(1，3)，过这两个点O，A作直线OA．师：你是怎么做出y＝3x的图象的？生：列表，描了两个点，连线．师：由方程y＝3x的两个解我们做出了直线OA，那么方程y＝3x的所有解都在直线OA上吗？反过来，这条直线上的所有点都满足y＝3x吗？即方程y＝3x的解与直线OA上的点是一一对应的吗？由学生的作图过程引发学生思考，然后在教师的问题引导下，从曲线与方程的角度来描述正比例函数y＝3x与直线OA的关系；画出示意图使学生更容易明确正比例函数y＝3x与直线OA上的点的一一对应关系．-2-4-3O2-1y=3xPA1x211234y新课我们来说明直线OA是正比例函数y＝3x的图象．(1)设点P(x，y)为直线OA任一点，用相似三角形的知识说明点P(x，y)也满足函数关系式y＝3x．(2)以方程y＝3x的解为坐标的点P(x，y)一定在直线OA上．二、一次函数与正比例函数图象关系例1在同一直角坐标系内作出下列函数y＝x，y＝x＋2，y＝x－2的图象．步骤：列表、描点、连线．观察与比较正比例函数y＝x与一次函数y＝x＋2，y＝x－2图象有什么异同？填空这三个函数的图象形状都是，并且倾斜程度，函数y＝x的图象经过原点，函数y＝x＋2的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y＝x向平移个单位长度而得到．函数y＝x－2的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y＝x向平移个单位长度而得到．讨论这一部分，教师结合图示，用简洁明了的语言讲解二者之间的关系．学生了解即可，不宜过多强调．师：正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系呢?一次函数又有什么性质呢？师：出示观察与比较，提示学生，相同点可从图象形状和倾斜度上分析．不同点可从三条直线的位置关系等方面．生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．师：动画演示．学生讨论，得出结论．从更高的层次上审视初中所学的一次函数，培养学生的理性思维以及思维的严密性．通过例1，让学生进一步掌握利用列表描点，连线画函数的图象，并且根据图象来分析一次函数和正比例函数的关系，从而提高学生的读图能力，及文字语言转化为数学语言的能力．并与前面学过的知识结合，对学过的这两个函数有更新的认识．教师扮演组织者的角色，鼓励学生大胆的猜测和探究，以培养学生的观察、归纳能力，让学生从中体验独立获取知识的愉悦感和成就感．通过动画演示，可调动学生学习的兴趣和正确理解直线平移变换的过程．-4-1y=x+212xO2112-2-334y=xy=x-2y直线OA正比例函数y＝3x方程y＝3x的解（x,y）点P（x,y）新课(1)一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝kx图象有什么关系？(2)一次函数y＝kx＋b的图象与x，y轴的交点坐标是什么？结论(1)一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝kx图象的关系：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b，它可以看作由直线y＝kx沿y轴平移|b|个单位长度得到．(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移．)(2)一次函数y＝kx＋b的图象是过点(0，b)，(－bk，0)的一条直线．练习1指出下列直线是由哪个正比例函数的图象平移得到的，并求下列直线与x轴，y轴的交点坐标．(1)直线y＝5x＋1；(2)直线y＝5x－3；(3)直线y＝x＋5；(4)直线y＝x－3．三、一次函数的单调性当k＞0时，函数f(x)＝kx＋b是增函数．当k＜0时，函数f(x)＝kx＋b是减函数．例2证明一次函数f(x)＝kx＋b(k＞0)在(－∞，＋∞)上是增函数．证明设x1，x2是任意两个不相等的实数，因为Δx＝x2－x1，而且Δy＝kx2＋b－kx1－b＝k(x2－x1)＝kΔx，所以ΔyΔx＝xxk＝k＞0．所以当k＞0时，函数f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是增函数．同理我们可以证明：当k＜0时，函数f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是减函数．因为y是函数值的改变量，x是自变量的改变量，所以由y＝kx还可知：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．学生抢答练习1．师生交流练习1后，教师提出问题：一次函数是由正比例函数平移得到的，从图象上看，它们的单调性是怎样的？你能证明你的结论吗？师生共同解决例2，教师板书详细的解题过程．教师引导学生归纳得出：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．由练习1的两个问题，从特殊到一般，师生一起总结得出结论．改变教师直接给出结论的惯例，让学生通过练习，由特殊到一般，自己独立的去获取知识，培养学生的归纳、概括能力．练习1帮助学生理解知识，形成技能．培养学生的观察能力和归纳总结能力．在学生具备函数增减性的知识以后，用单调性的概念重新审视初中所学的一次函数，让学生对函数的直观感知上升到理性分析的层次上，同时加深对函数单调性概念的理解．并且为引出一次函数的性质作铺垫．新课四、总结一次函数的性质1．一次函数y＝kx＋b的图象是过点(0，b)，(－bk，0)的一条直线．2．当k＞0时，函数f(x)＝kx＋b是增函数．当k＜0时，函数f(x)＝kx＋b是减函数．3．函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．练习2说出下列直线与x轴，y轴的交点坐标，以及函数的增减性．(1)y＝x＋2；(2)y＝－2x－1；(3)y＝3x＋1；(4)y＝8x．师生共同总结得出一次函数的性质．学生口答，师生共同点评．通过练习2，加深对函数性质的理解，理论与实践相辅相成．小结1．一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx的关系．2．一次函数y＝kx＋b的性质．学生阅读课本畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P79，练习A组第1，2题；练习B组第3题（选做）．巩固拓展．