相似三角形总复习+典型例题

1.形状相同的图形①表象：大小不等，形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例.2.相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).3.相似多边形性质：①相似多边形的对应角相等,对应边成比例.②相似多边形周长的比等于相似比.③相似多边形面积的比等于相似比的平方.一、相似图形的定义、实质、及性质4.相似三角形三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).5.相似三角形性质：①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.③相似三角形面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形与全等三角形的关系：相似比等于1的两个三角形全等.7.两个极具代表性的益智“模型”：“A”型和“X”型相似三角形.ABCDEABCDEEDCBAAEDBC1.预备定理平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;二、三角形相似的判定方法有哪些?2.定理三边对应成比例的两个三角形相似.3.定理两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;4.定理有两个角对应相等的两个三角形相似三、相似图形的特例图形的位似1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.2.性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.DEFAOBCDEFAOBC3.如何作位似图形(放大).5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.4.如何作位似图形(缩小).OPABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P1,如图,添加一个条件,使则△ABC∽△AED,则这条件可以是.AEDCB练习2．下列说法正确的是（）A所有的等腰三角形都相似B所有的直角三角形都相似C所有的等腰直角三角形都相似D有一个角相等的两个等腰三角形都相似、在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则各对相似三角形的相似比分别是多少？面积的比呢？DCBOAE、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的相似比是_______对应边上的高的比是_________，周长之比是___________。3：53：53：54、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似比是_______1：√2BADEC△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。FEDCBA如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为。na22练习=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四周修筑小路:(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围成的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由(2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成矩形和矩形ABCD相似?请说明理由.ABCDxxxxA`B`C`D`ABCDxyyxA`B`C`D`8如图，ABCD中，E为AD的中点，若SABCD=1，则图中阴影部分的面积为()ABCD31516181CBAEDCF当堂训练已知,AB∥CD∥EF，（1）图中有几对相似的三角形？（2）线段AB、CD与EF有怎样的等量关系？⊿EDC∽⊿EBA⊿ADC∽⊿AFE⊿BDA∽⊿EDF如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全等三角形除外）∠1+∠2+∠3＝度、Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D。（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由。（2）若AD＝1cm,BD＝4cm,请你求出CD的长度。∟BDAC如图，已知：DE∥BC，DC和BE相交于P点，连结AP交DE于M，延长AP交BC于N点，求证：DM=ME，BN=NC。AMPDEBNCADMBCDEEMDM推得由，需利用中间比过渡，要证,//∽ABADBNDMABN得,BNMEPBEPPBEPBCDEBCDEABAD,,同理可证MEDMBNMEBNDM,同理可证：BN=NC如图，已知EMAM，交AC于D，CE=DE，求证：2EDDM=ADCD。ECDMAECDMAFG结论成立。由条件得是可得又知，使到，可延长要得出），（还应考虑系数积的形式转化成比例式成立，应把证法一：要证,,,,2,222FCDAMDRtCDFEFDECEDEEFFDEEDDMCDADEDCDADDMED∽故结论成立。，由题易证得即只需证明性质，得，根据等腰三角形的作证法二：过点DAMDEGDMADDGEDDMADCDEDDGCDCDEGE,2,2∽如图：在⊿ABC中，∠C=90°,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：①经过多少秒时⊿CPQ∽⊿CBA;AQPCBAQPCB②经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：——；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x的两个根，求DE的长和的值。例5如图，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，点D在AC上运动（不运动至点A），过点D作DEAB，设AD=x，AE=y。（1）求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；（2）若点D运动到AC上有某个位置时，AD、AE的长恰好是一元二次方程062atta(1)由题意知，易得ABC∽ADE,得y与x的函数关系式。100135xxy,24260,243622DExyDEyx的两个根，的长恰好是方程06,2attAEAD965,4aDE∽242610DExyADEABC)2(的面积最大。何处时，在的函数解析式，且点与，求面积为高中，如图，例PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABC,,//,//,10,12.6APBCMDN，它的一边BC=12cm，高线AD=8cm.E为AB上一动点(E不与A、B重合)，且EF∥BC交AC于点F，以EF为边向下做一个正方形EFGH，设正方形EFGH与三角形ABC的重合部分面积为y,EF=x.求(1)当HG落在BC上时,求xPNMGHFDABCE(2)当HG不落在BC边上时,求y关于x的关系式EPGHFDABC有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，如图（1）所示，已知∠A=90°，AB=8cm，BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉得哪种方案更好，为什么？ABCGHFABCEHGABCE如图（1）甲乙变一变MN．，，，，、、9221ABPSBxPBPCAyxxy为垂足轴内一点是该直线上在第一象限轴于点分别交如图，直线拓展ACPBOxy；的坐标求点P132632，PABABAO2004，，，CA42421AOCS9∽ABPSABPAOC，942ABPAOCSSABAOACPBOxyACPBOxyRT．，，，，，点的坐标试求相似时与当为垂足轴作的右侧在直线且点象上在同一个反比例函数图与点设点RAOCBTRTxRTPBRPR22323，RyxxyP6322，，，得由反比例函数()yxR，设时当AOCBRT①∽yxRTBTOCAO22421131132113113，Ryx时当CAOBRT②∽224xyBTRTOCAO例2在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为____________．OxAByOxABy125C1(5，2)55252C2(4，4)、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求(1)三角形AB边上的高线CH。(2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式。(3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大，最大为多少？EFNADBCHG练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。CEDBAFG练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与⊿ABC，求正方形的边长（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。CEDBAFGCEDBAFGKH练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于⊿ABC，求正方形的边长。（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与⊿ABC，求正方形的边长（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。CEDBAFGCEDBAFGKHCBA练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（4）如图4，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节于⊿ABC，请写出正方形的边长。CEDBAFGCEDBAFGKHCBACBA，M、N分别是BC、CD上