4.单层板的偏轴刚度

单层板的宏观力学分析2.2单层板的偏轴刚度上节课内容回顾2.2单层板的偏轴刚度单层板的偏轴刚度为单层非材料主方向上的刚度。在实际应用中，有时需要求的单层的偏轴应力-应变关系。这是因为复合材料设计时，所取坐标系往往不与材料的正轴坐标系重合。例如：当分析纤维缠绕的圆柱形壳体时，材料的正轴是缠绕的螺旋线方向，而材料中的应力状态（或应变状态）往往是偏轴下给出的，因此要求在偏轴方向与正轴方向进行应力（应变）的转换。本节重点：（1）平面应力状态下的应力转换和应变转换公式；（2）偏轴应力-应变关系的物理方程。2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换-转换的术语设单层板单元体受面内偏轴正应力σx、σy和偏轴切应力ζxy作用，x和y分别表示两个任意的坐标轴方向，x轴和y轴称为偏轴，所用坐标系x-y称为偏轴坐标系。单元体外法线方向x与材料主方向1之间的夹角为ϴ，称为单层方向角。规定自偏轴x转至正轴1的夹角ϴ逆时针为正，顺时针为负。2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式应力转换用于确定两个坐标系下弹性体内应力分量之间的关系。设单层板中单元体的应力状态如图所示，可分别用垂直于1轴或垂直于2轴的斜截面切出三角形分离体。垂直于1轴的横向斜截面上有σ1与ζ12，垂直于2轴的纵向斜截面上有σ2与ζ12。如图b，由静力平衡条件可导出应力转换公式。设斜截面面积为dA，该面法线与x轴的夹角为ϴ，令m=cosϴ，n=sinϴ。2.2单层板的偏轴刚度由∑1=0得。0)()()()(1mndAnndAnmdAmmdAdAxyyxyx简化可得xyyxmnnm2221由∑2=0得到0)()()()(12nndAmndAmmdAnmdAdAxyyxyx简化可得xyyxnmmnmn)(22122.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式2.2单层板的偏轴刚度自行证明如下关系：xyyxmnmn2222xyyxnmmnmn)(2212如果将ϴ换为任意角度α，则应力转换公式适用于从任意坐标系向另一坐标系转换，把三个转换方程可以写成矩阵形式，如下221222221212222cossin2sincossincos2sincossincossincoscossin[]cossin2sincossincosxyxyxxyxyT122212112sincossincossincoscossin[]xT应力转换矩阵应力负转换矩阵2.2.1应力转换和应变转换——应力转换公式2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式平面应力状态下一点的应变状态，也用一定坐标系下的应变分量来表示的。研究应变的转换就是要研究不同坐标系下应变分量的转换。应变是一种几何量，所以应变转换夜视利用几何关系得到的，不涉及材料的性质及力的平衡。推导应力转换公式，就是由一定坐标系(x-y)下某一点的应变分量εx、εy、γxy推导在新坐标系（1-2）下的应变分量ε1、ε2、γ12，这里将材料主方向轴1-2暂时标为x’-y’轴。2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式在x-y坐标系下，设平面应力状态下一点D在该平面的应变分量，按应变的定义为yuxvyvxuxyyx,,式中，u、v分别是D点在x和Y方向的位移分量。在x’-y’坐标系下，'''',''','''''1221yuxvyvxuyxyx2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式如图所示，D点有一微小位移矢量，其在x-y坐标系中的位移分量分别为u、v，而在x’-y’坐标系中的位移分量为u’、v’。可建立如下几何关系'',''','mvnuvnvmuumvnuvnvmuu在x-y和x’-y’坐标系的坐标转换也有类似关系'',''','mynxynymxxmynxynymxx显然，u和u’都是x和y的函数，又根据上式（红色框中），x和y是x’和y’的函数。求导得yunxumxyyuxxxuxux'''''''''12.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式yunxumxyyuxxxuxux'''''''''1'',''','mvnuvnvmuumvnuvnvmuuynvmunxnvmumxyyuxxxuxux)()('''''''1][]['''''''1yvnyumnxvnxummxyyuxxxuxuxxyyxmnnmyuxvmnyvnxumyvnyumnxvnxumm22221)(][][2.2单层板的偏轴刚度2.2.1应力转换和应变转换——应变转换公式xyyxxyyxxyyxnmmnmnmnmnmnnm)(222212222221两式自行推导写成矩阵形式如下2212222212122222cossinsincossincossincos2sincos2sincoscossin[]cossinsincossincossincos2sincos2sincoscosxyxyxxyxyT1221211T1T1sin[][][][][]xTTTTT应变转换矩阵应变负转换矩阵2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量建立单层板的偏轴应变-应力关系式，不需要像正轴一样。第一，偏轴下的简单试验比较困难，由于加载不是在材料的正轴方向，所以，一种外力要引起多种基本变形，从而不便由试验得到。第二，只要通过适当的应力和应变的转换完全可以导出偏轴下的应力-应变或应变-应力关系式。2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量推求从（a）到（d）的偏轴下的应力-应变关系，可将其分解为三个步骤：（1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换[Tε]（2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵[Q]）（3）从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（1）从偏轴应变（a）到正轴应变（b）做正转换[Tε]xyyxT][1221（2）从正轴应变（b）到正轴应力（c）转换（利用正轴模量矩阵[Q]）xyyxTQQ]][[][122112212.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量（3）利用应力负转换从正轴应力（c）到偏轴应力（d）做负转换xyyxxyyxTQTQTT]][[][][][][11221112211xyyxxyyxxyyxQQQQQQQQQTQT6661612622211612111]][[][偏轴下应力-应变关系的物理方程其中：]][[][][1TQTQ本次课内容2.2单层板的偏轴刚度2.2.2单层板的偏轴模量]][[][][1TQTQ偏轴模量矩阵的具体表达形式应力负转换矩阵正轴模量矩阵应变正转换矩阵将三个矩阵的乘积进行乘法运算得到偏轴模量与正轴模量之间的转换关系从这个公式中可以看出m=cosθ，n=sinθθ为复合材料单层板的纤维方向角，θ的正负号如前所述将下面的转换关系式写成矩阵形式442222114422222211222244222212222222222126633333366163333332624244222mnmnmnQnmmnmnQQmnmnmnmnQQmnmnmnmnQQQmnmnmnmnmnmnQQmnmnmnmnmnmnmcossinn根据前面单层板正轴模量对称关系Qij=Qji又根据得到的偏轴模量与正轴模量之间的转换关系偏轴模量之间也有类似对称关系jiijQQ所以只需要列出六个偏轴模量的分量从六个关系式中可以看出，前四个偏轴模量转换关系是θ方向角的偶函数，而后两个关系式是θ角的奇函数还有一点需要说明六个偏轴模量的表达式，只适用于从正轴到偏轴的转换也就是只能由已知的正轴模量求单层板的方向角为θ的偏轴模量这个过程不能颠倒这六个关系式不能用于从某一偏轴到另一个偏轴的模量转换偏轴模量转换公式的步骤，是从正轴开始的，而且是在特定条件下推导出来的。原因442222114422222211222244222212222222222126633333366163333332624244222mnmnmnQnmmnmnQQmnmnmnmnQQmnmnmnmnQQQmnmnmnmnmnmnQQmnmnmnmnmnmnmcossinn并且正轴模量的分量只有四个Q11、Q22、Q12和Q66而任意坐标轴上的偏轴模量分量一般有六个分量比正轴方向下多出下标为“16”和“26”两个分量偏轴坐标系下的应力-应变关系公式如下xyyxxyyxQQQQQQQQQ666261262221161211下标为“16”和“26”的模量分量联系偏轴方向上的剪应变和正应力的耦合分量下标为“61”和“62”的模量分量联系偏轴方向上的正应变和剪应力的耦合分量这些分量在正交各向异性材料的正轴向是不存在的，均为零11112112122222126612120000QQQQQQ442222114422222211222244222212222222222126633333366163333332624244222mnmnmnQnmmnmnQQmnmnmnmnQQmnmnmnmnQQQmnmnmnmnmnmnQQmnmnmnmnmnmnmcossinn继续来看模量转换公式中的各个系数也就是系数m和n各个系数均为三角函数的四次方幂应力转换和应变转换公式中的各个系数均为三角函数的二次方幂从表面上看，偏轴模量具有六个分量，但由模量的转换公式可知，这六个分量只与四