普高高三文科数学月考

第1页（共6页）2019年10月17日高中数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝xB．y＝2﹣xC．y＝logxD．y＝解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．2．若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（）A．B．13C．10D．【解答】解：由＝．因为复数为纯虚数，所以，解得a＝2．所以|3﹣ai|＝|3﹣2i|＝．故选：A．3．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为（）A．B．C．D．【分析】所有基本事件个数为4，设事件A为居民没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内，则A事件个数为3个，从而得出该居民会被罚款和行政处罚的概率．【解答】解：设事件A为居民没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内，则A事件个数为3个，∵所有基本事件个数为4个，∴P（A）＝，即居民会被罚款和行政处罚的概率为．故选：D．4．已知tanA＝2，则＝（）A．B．C．3D．5【解答】解：tanA＝2，则＝＝＝．故选：B．5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b【解答】解：∵a＝，b＝，c＝，且5，第2页（共6页）∴，则b＝＜，∴c＞a＞b．故选：D．6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝Asin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝Asin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴＝2π，得ω＝2，则g（x）＝Asinx，f（x）＝Asin2x，若g（）＝，则g（）＝Asin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．7．若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＞3B．i＞4C．i＞5D．i＞6【分析】S＝2，i＝2，不满足条件，执行循环；依此类推，当S＝16，i＝6，满足条件，退出循环体，输出S＝16，从而得到判定框中的内容．【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得S＝1+1＝2，i＝2，不满足条件，执行循环；S＝2+2＝4，i＝3，不满足条件，执行循环；S＝4+3＝7，i＝4，不满足条件，执行循环；S＝7+4＝11，i＝5，不满足条件，执行循环；S＝11+5＝16，i＝6，满足条件，退出循环体，输出S＝16，故判定框中应填i＞5．故选：C．8．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．9．设A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．∅解：∵A＝{x|y＝}＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|x≥2}＝[2，+∞）．故选：C．10．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）第3页（共6页）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴＞＞，故选：C．11．已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，e]D．[1，e]【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a≥0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．12．设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【解答】解：当x∈[0，2π]时，ωx+∈[，2πω+]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴5π≤2πω+，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，ωx+∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，∵，故③正确．故选：D．13．已知向量，则在上的投影为﹣．第4页（共6页）【解答】解：向量，则在上的投影为：＝＝．14．若变量x，y满足约束条件则z＝3x﹣y的最大值是9．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．15．设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx+cosx取得最大值，则tan（θ+）＝2+．【解答】解：f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+）；∵当x＝θ时，函数f（x）取得最大值∴θ+；∴θ＝+2kπ，k∈z；∴＝tan（）＝．故答案为：2+．16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是y＝．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．三．解答题（共6小题）17．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期公式求出ω的值．（2）直接利用整体思想求出函数的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．18．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；第5页（共6页）（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．19．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：（1）asin＝bsinA，即为asin＝acos＝bsinA，可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，∵sinA＞0，∴cos＝2sincos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，解得＜a＜2，可得△ABC面积S＝a•sin＝a∈（，）．20．已知a∈R，命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣（a﹣2）＝0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【分析】（1）令f（x）＝x2﹣a，若命题p为真命题，只要x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）min≥0即可，进而得到实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，命题p与q一真一假，进而得到答案．【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0．令f（x）＝x2﹣a，根据题意，只要x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，即a≤1；…（4分）（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1…（6分）因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与q一真一假，…（7分）当命题p为真，命题q为假时，﹣2＜a＜1，…（9分）当命题p为假，命题q为真时，a＞1．…（11分）综上：a＞1或﹣2＜a＜1．…（12分）21．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，第6页（共6页）未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费300元，未租出的车每辆每月需要维护费100元，又该租赁公司每个月的固定管理费为14200元．（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆？（2）当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？（注：公司每月收益＝汽车每月租金﹣车辆月维护费﹣公司每月固定管理费）【分析】（1）求出未租出的车辆数，可得租出的车辆数；（2）利用公司每月收益＝汽车每月租金﹣车辆月维护费﹣公司每月固定管理费，可得函数解析式，利用配方法可得结论．【解答】解：（1）当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以此时租出了100﹣12＝88辆；…（3分）（2）设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益为y＝（100﹣）（x﹣300）﹣×100﹣14200…（5分）＝（8000x﹣x2+300x﹣240×104+30×104﹣100x）﹣14200＝（﹣x2+8200x﹣210×104）﹣14200…（8分）＝﹣（x﹣4100）2+28