倒立振子控制系统设计

2机电一体化基础倒立振子控制系统设计指导老师：班级：研机械16姓名：学号：1倒立振子控制系统设计倒立振子概述倒立振子控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立振子系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科：力学，数学和计算机科学进行有机的综合应用。其控制方法和思路无论对理论或实际的过程控制都有很好的启迪，是检验各种控制理论和方法的有效的“试金石”。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。倒立振子不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。由于其系统本身具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都有大量的优秀论文出现。因此，倒立振子系统在控制理论研究中是一种较为理想2的实验装置。在稳定性控制问题上，倒立振子既具有普遍性又具有典型性。倒立振子作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立振子可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立振子控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立振子装置来验证其正确性和实用性。用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立振子的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立振子，它的局限性是显而易见的。只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立振子稳定竖起来，能使倒立振子竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使倒立振子稳定竖立的状态反馈阵只有很少的一个范围，这个范围要花大量的时间去寻找。小车倒立振子实际数学模型的建立一：倒立振子动力学方程的建立(微分法)倒立摆的物理构成可以表述为：光滑的导轨，可以在导轨上自由移动的小车，和一个质量块的摆杆。它们的铰接方式决定了它们在竖直平面内运动。水平方向的驱动力使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到倒立3摆系统的平衡。由于状态反馈要求被控系统是一个线性系统，而倒立振子本身是一个非线性的系统，因此用状态反馈来控制倒立振子首先要将这个非线性系统近似成为一个线性系统。在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将倒立振子抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。图2-1一级倒立振子运动示意图M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置Φ摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）4图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立振子中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。图2-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：(1)合并可得：(2)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：5合并得到力矩平衡方程如下：(3)设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行线性化近似处理：0)(,sin,1cos2dtd用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程（即将上述等式带入②和③）如下：(4)进行拉氏变换，得：)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI(5)由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到：)()()(22ssgmlmlIsX，即：mglsmlImlssXs222)()()((6)(6)式称为摆杆角度与小车位移的传递函数。如令xv，则有：mglsmlImlsVs22)()()((7)(7)式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易于实现，在实验中常采用此式。把(4)式代入(5)式的第二个方程中，得到：)()()(()()()(22222sUssmlsssgmlmlIbsssgmlmlImM6qbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs)()()()(223(8)其中，])ml()mlI)(mM[(q22(8)式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数二：实际系统的数学模型实际系统的模型参数如下:M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。则有摆杆角度和小车加速度的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(2ssVs根轨迹控制器的设计3.1根轨迹分析前面我们已经得到了倒立振子的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立振子摆杆的角度，被控对象的传递函数为：mglsmlImlsVs22)()()(给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度时，系统框图如下7图3-1直线一级倒立振子闭环系统图（脉动干扰）考虑到输入r(s)=0，结构图变换成图3-2直线一级倒立振子闭环系统简化图（脉动干扰）该系统的输出为：其中num——被控对象传递函数的分子项；den——被控对象传递函数的分母项；munlead、denlead——控制器超前环节传递函数的分子项；numlag、denlag——控制器滞后环节传递函数的分子项和分母项；k——控制器增益闭环传递函数可以由Matlab命令求出。实际系统的开环传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(2ssVs3.2根轨迹设计8直线一级倒立振子的根轨迹校正可以转化为如下的问题：对于传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(2ssVs的系统，设计控制器，使得校正后系统的要求如下:调整时间sts75.0最大超调量%8%根轨迹设计具体步骤如下:1)确定闭环期望极点ds的位置，由最大超调量%8)1/(2eMp，这里取Mp为7%根据以上公式可求出=0.64666,这里近似取=0.65由)cos(可以得到θ=错误!未找到引用源。其中θ为位于第二象限的极点和o点的连线与实轴负方向的夹角如图4-4所示图3-4性能指标与根轨迹关系图又由:9stns57.04这里我取值0.5s可以得到n=12.3077，于是可以得到期望的闭环极点为:12.3077))sin()cos((j1)未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，小通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为:)1(11)(apszsaTsaTssKcc2)计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为:=错误!未找到引用源。)=-错误!未找到引用源。因此校正装置提供的相角为:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。设计超前校正装置，已知:θ=错误!未找到引用源。对于最大的a值的γ角度可由下式计算得到:)(21所以有：错误!未找到引用源。图6直线一级倒立振子根轨迹计算图按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，用公式))57.1tan()sin()cos((ncz，))57.1tan()sin()cos((ncz10计算出超前校正装置的零点和极点，分别为:错误!未找到引用源。校正后系统的开环传递函数为:3)幅值条件由1)()(ddsHsG，可得：K=183.23134)于是我们得到了系统的控制器:)5903.24()1601.6(2313.183)(sssG