二次函数解析式的8种求法

腾飞家教-1-二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a≠0；2、x的最高次数为2次．例1、若y=(m2+m)xm2–2m－1是二次函数，则m=．解：由m2+m≠0得:m≠0，且m≠－1由m2–2m–1=2得m=－1或m=3∴m=3．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．例2、(1)经过点A（0，3）的抛物线的解析式是．分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足cbay2中的C=3，且a≠0即可∴32y（注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．例3、二次函数253212y的图像是由221y的图像先向平移腾飞家教-2-个单位，再向平移个单位得到的．解：253212y=23212，二次函数253212y的图像是由221y的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式cbay2，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式khxay2．这顶点坐标为（h，k），对称轴方程x=h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数；六、两根式已知图像与x轴交于不同的两点1200xx，，，，设二次函数的解析式为21xxxxay，根据题目条件求出a的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）解：1、设二次函数的解析式为：cba2，依题意得：40542abcabcabc解得：321cba322xxy腾飞家教-3-2、设二次函数解析式为：y=a(x–h)2+k，图象顶点是（－2，3）h=－2，k=3，依题意得：5=a(－1+2)2+3，解得：a=2y=2(x+2)2+3=11822xx3、设二次函数解析式为：y=a(x–1)(x–2)．图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，1=－2，2=4依题意得：－29=a(1+2)(1–4)a=21y=21(x+1)(x–4)=223212x．七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数cba2，要求其图象关于x轴对称（也可以说沿x轴翻折）；y轴对称及经过其顶点且平行于x轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y=a(x–h)2+k的形式．（1）关于x轴对称的两个图象的顶点关于x轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数．（2）关于y轴对称的两个图象的顶点关于y轴对称，两个图象的形状大小不变，即a相同．（3）关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a互为相反数．例6已知二次函数5632xxy，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x轴对称；（2）图象关于y轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称．解：5632xxy可转化为2)1(32xy，据对称式可知腾飞家教-4-①图象关于x轴对称的图象的解析式为2)1(32xy，即：5632xxy．②图象关于y轴对称的图象的解析式为：2)1(32xy，即：5632xxy；③图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称的图象的解析式为2)1(32xy，即1632xxy．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线cby271和x轴正半轴交与A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO=45，37cotPBO．1求P点的坐标；2求抛物线的解析式．yMABOxP解:设P的坐标为(－1，y)，∵P点在第三象限∴y＜0，过点P作PM⊥X轴于点M．点M的坐标为(－1，0)|BM|=|BA|+|AM|腾飞家教-5-∵∠PAO=45∴|PM|=|AM|=|y|=－y∵374cotyyPMBMPBO∴y=－3∴P的坐标为(－1，－3)∴A的坐标为(2，0)将点A、点P的坐标代如函数解析式cbcb7132740解得：87b；127c∴抛物线的解析式为：21812777y．