03-5-计算固有频率的近似法.

燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★在工程实际问题中，存在大量的质量和刚度不均匀分布的连续系统的振动问题，由于一般无法得到精确的解析解，因此近似计算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。★无论是有限自由度系统还是无限自由度系统，当以某一特定的振动形状作自由振动时，该系统就在各点平衡位置附近以自振频率作简谐运动。★求连续系统固有频率常用的近似方法：瑞利法；瑞利—里兹法；假定振型法3.7计算固有频率的近似方法0)()()(d)(d)(dd22222xYxAxxxYxEJx例如：梁横向振动的振型函数方程为对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常数，故最大动能Tmax和最大势能Umax应相等，即对于任何一个连续系统，只要近似地给出一个满足边界条件的第一阶振型函数，并获得系统的动能和势能，就可对基频进行估算。maxmaxUT瑞利法(能量法)就是根据机械能守恒定律得到的计算基频的近似方法，它不仅适用于离散系统，同样也适用于连续系统。3.7.1瑞利法燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函数Y(x)，它满足梁的边界条件，则梁在振动过程中任一瞬时的位移、速度为,sin,cosyxtYxtyxtYxtt★不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为202220,1d2,1d2LLyxtTtxAxxtyxtUtEJxxx燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★在偏离平衡位置最远距离处，梁具有最大弹性势能上式表明，当所假设振型函数Y(x)恰好是某一阶实际振型函数时，即可计算出该阶固有频率的精确解。事实上，由于不能预知各阶实际的振型函数，一般只能近似地给出第一阶振型函数。因此，瑞利法只适用于估算基频。xxxYxEJULddd212022maxxxYxAxxxxYxEJTULLdddd022022*max2★根据机械能守恒定律得maxmaxUT★在静平衡位置，梁具有最大动能*2022maxd2TxxYxAxTLxxYxAxTLd2102*—称为参考动能。,cosyxtYxtt20,1d2LyxtTtxAxxt燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的动能。若在xi(i=1,2,…,n)处有集中质量mi(i=1,2,…,n)，则梁的最大动能为iniiLxYmxxYxAxT212022max2d2★当梁上xi(i=1,2,…,n)处有刚度ki(i=1,2,…,n)和扭转刚度ki(i=1,2,…,n)的弹性支承时，则梁的最大势能为22max202211d1d2dd1122dLnniiiiiiYxUEJxxxYxkYxkx燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★在假设第一阶振型函数时，应尽量接近实际振型。例如，有一试探振型函数X(x)，满足边界条件，同时具有各阶导数。★若用X(x)代替上述公式中的Y(x)，则得梁弯曲振动的瑞利商2max*222220112201ddddddnnLiiiiiinLiiiURXTXxXxEJxxkXxkxxxAxXxxmXx燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★瑞利商R(X)为一个泛函，它决定于试探函数X(x)。★由于准确确定高阶试探函数存在困难，通常选用静挠度曲线作为第一阶振型函数的试探函数，计算系统基频的近似值。★可以证明，如果试探函数X(x)与系统振型函数Y(x)相差一阶小量，则瑞利商基频近似值与精确值之间相差二阶小量。★由于用假设的试探函数代替精确的第一阶振型函数，相当于给系统施加了约束，增加了系统刚度，因此将使固有频率值提高，也就是说R(X)给出了系统固有频率的上限。问题：瑞利商基频计算结果与实际基频比较，大或小？燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity★另外，前面所讲的弦的横向振动，杆的纵向振动和轴的扭转振动等，同样可用瑞利法计算基频。★对于不同的连续系统，只是T*和Umax的具体表达式不同而已。为了表示一般情况，以R表示瑞利商，即此为瑞利商的一般表达式。*max2TUR燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity例1长为L，弯曲刚度为EJ，单位长度分布质量为m的悬臂梁，在其自由端有集中质量2M(M=mL)。试用瑞利法求梁弯曲振动的基频。解：(1)采用分布载荷作用下梁的静挠度曲线为试探振型43224463XxAxLxLxXLALEJmgA24式中可以验算该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的几何边界条件，即3220d000,4330dxXXAxLxLxx选择为试探振型函数燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity将试探振型以及试探振型的二次导数代入瑞利商计算式，并注意到梁上没有弹性支承LLALMxxLLxxmAxLLxxEJA02422234202222232d64d2144222220112201ddddddnnLiiiiiinLiiiXxXxEJxxkXxkxxRXxAxXxxmXx432242222463d122dXxAxLxLxXLALXxAxLxLx燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity计算积分，并代入M=mL，则求得41908.1mLEJ精确解411582.1mLEJ可见估计值与精确值的误差为2.8%。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity(2)采用无自重悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线作为试探振型函数2333,2XxBLxxXLBL式中EJmgLB3验算表明，该函数满足悬臂梁根部的位移和转角为零的几何边界条件。选择该函数为试探振型函数，其二次导数为xLBxxX6dd22代入式瑞利商计算式，固有频率为LLBLMxxLxmBxxLEJB0232322022222d3d36悬臂梁在端部集中载荷作用下的静挠度曲线为燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity计算积分，并代入M=mL，则求得41584.1mLEJ可见，估计值仅比精确解高0.02%。从本例两种方案的计算结果可以看出，虽然两种情况与精解都比较接近，但第二种要比第一种好，原因是本题中集中质量比分布质量影响大，其挠度曲线更接近于实际的第一阶振型。若当悬臂梁质量大于端部集中质量时，则取受分布力作用的悬臂梁的静挠度曲线是较合适的。精确解411582.1mLEJ☆静挠度曲线是最低阶振型函数的一种很有效的近似形状。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity例2图示变截面梁具有单位厚度，截面变化为A(x)=h(1-x/L)=A0(1-x/L)，A0为根部截面积，设单位体积质量为常数。试求弯曲振动基频的近似值。解：由给定的条件，知截面积对中心主轴的惯性矩为31121LxhxJ为简化计算，设幂函数为试探振型函数22222d2,dXxaxaXxLxL燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity该试探振型函数满足全部边界条件0xd000,0dXXxLx2222ddd0,0dddXLXLEJLEJLxxx将试探函数及其二阶导函数代入瑞利商计算式，得LLxLaxLxhxLaLxhETU02220223*max2d1d211214223235.23012LEhhLaLaEh燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity基频的近似值为425811.1LEh4215343.1LEh精确值为由瑞利法求出的基频较精确值高3.05%。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity●瑞利-里兹法是在瑞利法的基础上作了改进，可用以求出更精确的基频。●另外，瑞利-里兹法可以求得高阶固有频率和固有振型的近似值。●瑞利-里兹法的基本思想是把连续系统离散化为有限自由度系统，然后根据机械能守恒定律进行计算。●由于瑞利商提供了第一阶固有频率的上限(R，可见瑞利-里兹法降低了基频的估计值。21)3.7.2瑞利-里兹(Rayleigh-Ritz)法为什么？燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity按照瑞利-里兹法，任意连续系统的试探振型函数可以用线性组合的形式构成niiixuaxU1式中U(x)为假定的试探振型函数，ai为待定系数；ui(x)是由分析者指定的空间坐标x的函数。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniversity关于试探振型函数niiixuaxU1★函数ui(x)应满足所有的边界条件，至少必须满足几何边界条件，同时必须彼此是独立的。但ui(x)不同于振型函数，它不需要满足系统的微分方程。★函数ui(x)必须具有对自变量x的导数，且导数的阶数至少应等于特征值问题的微分方程的阶数。★系数ai的确定要使试探振型函数U(x)与系统的振型函数极为接近，数学上，这相当于去寻找使瑞利商有驻值的ai值。★在级数式中，用了n个函数ui(x)，实质上是把一个无限自由度系统简化为n个自由度系统，这种离散化方案相当于把约束an+1=an+2=…=0强加给了系统。因为约束会增加系统的刚度，所以估计的固有频率就高于真实的固有频率。★增加级数式中函数ui(x)的数目，一般能降低固有频率的估计值(至少不会增大估计量)，这样就从右侧来逼近真实的固有频率。燕山大学机械工程学院SchoolofMechanicalEngineering,YanshanUniv