哈工大非线性作业

《非线性控制》课程作业2015秋季学期姓名：学号：15S004001专业：控制科学与工程哈尔滨工业大学2016年1月作业一1.动态系统：系统状态随时间而变化的系统或者按确定性规律随时间演化的系统，称为动态系统。动态系统是数学上的一个概念，是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。其特点是:（1）系统的状态变量是时间函数,即其状态变量随时间而变化；（2）系统状况由其状态变量随时间变化的信息来来描述；（3）状态变量的持续性。数学描述形式：一般的，动态系统表示为一个元组,,TM，其中:UTMM表示一个从U到M的映射，用,tx表示，称为“演变函数”，表示了系统状态随时间变化的规律。211212120,,,,,,,xxttxttxttttIx其中:,IxtTtxU，,tx表示了集合M中点的变化，这种变化依据于变量t，M称为状态空间。x代表系统的初始状态，当初始状态固定时，,tx就变为了t的函数，函数经过x代表的状态点。动态系统也常用微分方程来描述，设系统状态向量为x，则有一下数学描述：0()(,)(0)xtfxtxx式中x为状态变量矢量，t为时间，f为确定性矢量函数，这个微分方程即动态系统的数学描述形式。对微分动力系统的研究从理论上揭示了系统的许多基本性质。如对系统吸引子的研究说明了系统终态，即定常状态的种类（非平衡态）。又如对系统稳定性条件的研究和相空间拓扑结构对参量依赖关系的研究都对系统的设计具有重要指导意义。不用微分方程描述的动态系统模型中最简单的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。静态系统：与动态系统相对，系统状态不随时间变化的系统称为静态系统。系统中各个状态的量之间都有着已经固定的关系并且保持不变，动态系统的每一个平衡点都是一个静态系统。数学描述：用微分方程来描述静态系统，类比动态系统，可以有以下数学描述()()()0xtfxfx其中()0fx表示了系统中各个状态变量之间的关系，即满足这样的关系时静态系统才能成立。2.系统的齐次性和叠加性是不是独立的两个性质？如果一个系统具有叠加性，是否可以推断出该系统一定满足齐次性？写出你对该问题的理解。二者是独立的，二者只在有理数范围内等效；这个问题本身属于群论范畴，尽管直观上讲，二者有一定关联。可以证明在有理数域内,如果已知系统具有叠加性,那么它一定同时具有齐次性。（1）在整数范围内证明，当aZ由叠加性可以得到TazTzzzaTz即满足齐次性：TazaTz当0a显然成立;当0a时由可加性0TazTazTazTaz，由上面堆出的结论可知()[(1)](z)[(1)z](z)(z)(z)(z)TazTazzTTaTTTaTTazTazaTz简言之，式子最后可以分解为a个T(r)相加，即为a倍T(r)。此时可加性与齐次性表述了同一条规则。将这一结论推广，可加性可以推出对于有理数的齐次性，（2）在有理数范围内证明由于有理数a总可以写成分数形式bc，其中,bcZ，0c，由(1)中推出的结论知bbbbbTzTbzTczcTzTzTzcccc在有理数范围存在TazaTz，故齐次性与可加性在有理数范围内等效。但在无理数范围内及复数范围内该结论不一定成立，反例如下：（3）虽然实际中存在很多不同时满足齐次性与可加性的例子，但大多数非线性系统是同时不满足二者。具有齐次性的非线性映射，只能在不满足可加性的无理数集中去寻找。如果不要求为连续函数，定义抽象函数如下例，即为一个满足齐次性而不满足可加性的系统：()0fx（x为有理数）()fxx（x为无理数）即为满足齐次性对数乘封闭()()fcxcfx而不满足可加性()()()fxyfxfy的实例。（4）设a为复数，若系统满足TiziTz其中zR，则可以推导出齐次性，但是一般的线性系统不满足这个性质。若变量与常数都可在复数域取值，由于复数运算的特殊性，叠加性与齐次性之间不一定等价。比如当k为复数时，()Refxx，()Refkxkx齐次性不成立但是叠加性仍然成立。3.状态空间表达式如下，Simulink仿真比较线性、非线性模型。212110xxmklgxx21221)sin(xmkxlgxxx线性系统Simulink仿真模型（蓝色曲线）非线性系统Simulink仿真模型（红色曲线）（1）对于初值12(0)20(0)0xx，两种系统的状态轨迹如下两图所示：X1X2当角度很小时，两系统的状态轨迹基本是相同的。（2）对于初值12(0)4(0)0xx，两系统状态轨迹如下：X1X2当初始角度偏大时，近似的模型与实际模型的状态轨迹出现了偏差。对于初值12(0)2(0)0xx，两系统状态轨迹如下：X1X2当单摆初始状态水平放置时，两个系统的状态轨迹相差比较大。（4）对于初值127(0)8(0)0xx，两系统状态轨迹如下：X1X2当偏角大于直角，两系统轨迹相差很大，实际系统的轨迹已经能够看出不完全符合正弦规律。作业二1.对两种稳定性的理解。(,)xfxt假设f是n维连续向量场。这样可以保证对于每个初始状态x0，都有至少一个经典解x(t)。(1)Lyapunov稳定性针对平衡位置定义：(,)xfxt系统对任意选定实数0，都存在0(,)0t，使得当00(,)exxt时，从任意初态0x出发都满足()extx，便可以确定ex为平衡点，且此时称这个平衡点在Lyapunov意义下稳定。若平衡点为零点，则xt。实质即在一定条件下可以满足是系统响应有界，系统响应00()(,,)xttxt存在边界()S，而根据边界即可确定出初始状态0x所在超球域()S。初值的选取取决于对系统状态范围的限定，通过限定初值范围保证系统状态在要求范围之内。(2)Lagrange稳定性也叫解的一致有界性，从Lagrange稳定性中只能得到状态在时刻0t之后是有界的。即给定0R，我们总可以找到一个0S，当0xR时，有xtS。2.解对初值具有连续依赖性与不稳定性的理解。解对初值的连续依赖性是指，对于非线性系统(,)xftx，假设()yt为定义在01,tt上的唯一解，满足初始条件00()yty,对于任意给定的0，存在0使得对于00|nzxxy，上述方程在01,tt上存在满足初始条件00()ztz的唯一解()zt，且001,,ztytztt。由于连续依赖性定义在01,tt上，即使是不稳定的系统，在一个已知时间范围内也是存在解的，只要满足在确定时间点上的解关于初值连续变化就说明解对初值有连续依赖性。因此对初值的连续依赖性与系统不稳定不矛盾。即解对初值的连续依赖性与系统是否稳定无关，具有不稳定的解的系统也可以对初值具有稳定性。如ttttztty1,1)(,)(存在。3.该系统平衡点唯一，因为如果有除了原点的另一平衡点x，那么若取初值0xx，根据平衡点的定义，0(,)xxtx，与条件不符。但不能说平衡点0是渐进稳定的，状态收敛，但是并不一定符合Lyapunov意义下的稳定性，即对于任意的0不一定能够找到一个，当0x时，有xt，直观上说，就是在状态收敛的过程中可能出现先发散再收敛的现象，虽然最后状态收敛但不能确定系统的稳定性。作业三1.根据平衡点定义可得212122121(1)0()(1)0fxxxfxxxx解得121,,xxcc或120xx近似线性化方法：由于11212fxxxx，21121fxxx，221121321fxxxxx，22121fxxx，在平衡点120,0xx附近有近似线性系统：12212xxxxx线性近似系统矩阵0111A，121313,22ii，由于Re()0易知该平衡点稳定。在平衡点121,xxc附近，首先进行坐标变换[1]Tyxc则对于系统状态y，有下式成立：21121222121()()(1(1))()(1)(1(1))yfyycyyfyyycy由于12112()(1)fyycyy，21121(1)fyyy，2211211342(1)(1)fyyyycyy，2212(1)1fyyy，在平衡点附近有近似线性系统112122(22)ycyycyy近似系统矩阵20221cAc，122,1c，当0c时平衡点是稳定的，否则平衡点是不稳定的。在平衡点121,xxc，同理可以得到112122(22)ycyycyy近似系统矩阵20221cAc，122,1c，当0c时平衡点是稳定的，否则平衡点是不稳定的。Lyapunov直接方法：对于平衡点120,0xx，取2212()Vxxx，则(0)0V，()0,0Vxx，22111221()2()2(1)Vxxxxxxx，对于平衡点附近的区域1|1Dxx，有()0Vx成立，因此平衡点120,0xx是稳定的。由于是在平衡点邻域内的，当20.5r时，可以得到0V，即系统在平衡点是渐进稳定的。讨论系统的稳定性可以解出系统的相应为220txtex，12110txtexx，解得1120exp0txtxtex，通过1xt，2xt解的形式可以很明显的看出系统是稳定的，即lim0txt但该平衡点并不是全局渐进稳定的，由于该系统平衡点不唯一。对于平衡点121,xxc，用类似的方法可以得到结果。平衡点也不是全局渐进稳定。取2211Vxxx，2111222Vxxxxx2.不可以，该系统状态的范围为实数域，也就是说复数不可能成为系统状态，23,xjxj不是系统合理的平衡点，又因在实数范围内210x，因此该系统平衡点只有0x。3.取22()ln(1)Vxxy，则易知()Vx全局正定，则有22222222()()2()122221xVxxxyyyxxxyyxyx考虑22222(,)2222gxyxxyyxy的极值，首先找到驻点2(,)4440gxyxxyxyx，22(,)2440gxyxyxyy，得到驻点为0xy，检验2(,)0gxyxy，22(,)4gxyx，22(,)4gxyy，可以得出驻点处二元函数取极大值(0,0)0g，由于函数全局可导，只有一个驻点，说明函数最大值为0，当且仅当0xy时取得最大值，因此可以得出()Vx0，又因为()Vx为径向无界函数，所以该系统全局渐进稳定。作业四1.对于集合2112|0,0Mxxx，若1(0)xM，即0(0)0x，可以