同济大学朱慈勉-结构力学第11章-结构的稳定计算

第十一章结构的稳定计算§11-1两类稳定问题概述§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法§11-3无限自由度体系的稳定——静力法§11-4无限自由度体系的稳定——能量法§11-1概述强度验算刚度验算稳定验算结构设计必不可少。——某些时候是必须的薄壁结构高强材料结构（如钢结构）主要受压的结构等而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的结构的计算简图来分析的；一、结构平衡状态的分类——根据结构受任意微小外界干扰后，能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态分为如下三类：•稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构能完全恢复到原始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。•不稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构不能恢复到原始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的。•随遇平衡状态——经抽象简化，可能出现结构受干扰后在任何位置保持平衡的现象，此现象称为“随遇平衡状态”。§11-1两类稳定问题概述二、失稳的概念及分类§11-1两类稳定问题概述失稳：结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定性、简称“失稳”。结构失稳的分类：根据结构失稳前后变形性质是否改变，可将失稳问题分为：•分支点失稳——失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。•极值点失稳——失稳前后变形性质没有发生变化，力－位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅速增长，导致结构压溃。P＜Pcr1.分支点失稳§11-1两类稳定问题概述柱单纯受压、无弯曲变形——失稳前后平衡状态的变形性质发生变化P＞PcrP=Pcr柱可在偏离原始平衡位置附近的任一位置上保持平衡。柱的压弯变形继续增大直至破坏。§11-1两类稳定问题概述稳定平衡不稳定平衡小挠度理论PΔPcr大挠度理论分支点分支点失稳的P-Δ曲线以分支点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。分支点上存在平衡形式的两重性2.极值点失稳§11-1两类稳定问题概述PPPcrP=Pcrcr——失稳前后变形性质没有发生变化PPcrcrPcr三、稳定自由度PEI1个自由度EI2个自由度无限自由度§11-1两类稳定问题概述稳定自由度——体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目。PPEIy1y2§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法完善体系分支点失稳分析有静力法和能量法。静力法是从分支点上具有平衡的二重性出发，对新的平衡状态建立静力平衡条件，从而求得临界荷载。能量法是对新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条件，依据临界点系统总势能为驻值，进而求得临界荷载。稳定计算的中心问题是确定临界荷载。一、静力法§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法例11.1求失稳时的临界荷载。k1抗转弹簧(刚度系数k)AkPEIlB0AM0sinkPl小挠度、小位移情况下：sin()0Plk对应新的平衡状态对应原始平衡状态两个解—0.2—0.1:0Plk---稳定方程(特征方程)lkPcr/---临界荷载kMA解：P大挠度理论C小挠度理论Pθk/lP-θ曲线ABO§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法讨论：1.小挠度理论计算结果：lkPcr/2.大挠度理论计算：0sinkPl由sinlkPcr临界荷载与θ是一一对应的§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法1ky2ky例11.2求失稳时的临界荷载。kkCPBEIAllEI解：0'BM0)(121yyPlky0CM02211lkylkyPy1y2yP研究体系整体：研究A’B’：P1ky2kyA’B’HB’VB’0)(21PyyPkl0)2(21klyyPlk整理得：为使y1、y2不同时为零，令：----稳定方程02PPklklPkl---临界荷载03:222lkklPP即klklklP382.0618.2253:特征值klPcr382.0618.1121yy---失稳形式§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法11.618kCPBA失稳形式例11.3求失稳时的临界荷载。已知：k1=k,k2=3k。PP取B’C’为隔离体，解：0,BM0)(1112lykyyP由整体平衡MA=0，得：0212211Pylyklyky1、y2不能全为零，故：02211lkPlkPPlk稳定方程0)(3522klklPPklPklP303.4,697.021klPcr697.0失稳形态§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法静力法求临界荷载分析步骤：1、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡状态）；2、由分支点上平衡的两重性出发，对新的平衡状态建立静力平衡方程，由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”；3、解特征方程，从而求得临界荷载。§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法与材料力学压杆稳定问题一样，结构分支点失稳问题临界状态的能量特征为：体系总势能EP取驻值。定义：体系应变能U加外力势能UP称为“体系总势能”，记作EP。弹性结构的稳定能量准则定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称为“外力势能”，记作UP。解：体系应变能：§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法例11.4能量法求结构失稳时的临界荷载。lkPEIykyU21kyPUP外力势能：22lPUPyPθ)cos1(l2)2(sin2l22llyPUP22ly体系总势能：2)221(ylPkUUEPP0)(ylPkdydEP由势能驻值原理：lkPcr故临界荷载：能量形式的平衡方程0,lPky令不为零为使22212121kykyU§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法kkCPBEIAllEI例11.5能量法求例11.2的临界荷载。解：体系应变能：1ky2ky1y2yPθ1θ2)(21PPUP外力势能：lylyyPUP22)(2221222iil体系总势能：PPUUElylyyPkyky22)(21212221222212122212)2()(21yPyyPklyPkll§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法02)(221211PyyPkllyEP0)2(2221212yPklPylyEP02PklPPPkl03222lkklPP由势能驻值原理：能量形式的平衡方程为使y1、y2不同时为零，令：---临界荷载klklklP382.0618.2253:特征值klPcr382.0§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法1.设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡状态）；2.计算体系本身的应变能U、荷载势能UP，从而获得体系的总势能EP=U+UP；3.由总势能的驻值条件建立以能量形式表示的平衡方程；4.由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”；5.解特征方程，从而求得临界荷载。能量法求临界荷载分析步骤：三、结构失稳问题转化为具有弹性支座压杆的失稳问题§11-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法例11.6求体系的临界荷载Pcr。PlaaEI=EIEIABCPyθABCθaEI3ABθaEI3AClkPcr/由alEIPcr6解：PyθP隔离体受力图aEIθ/3aEIθ/3AkPEIaEIk6Pyθ§11-3无限自由度体系的稳定——静力法HA例11.7求体系的临界荷载Pcr。xyEIPlyx解：MyPHA规定：M正向与杆件纤维凸起方向一致。xHPyMA挠曲线近似微分方程：)()(xMxyEI曲率的正号规定：若曲率中心位于所设定的y轴正向的一侧，则为正；反之为负。yy挠曲线近似微分方程中的“”规定：若所设定的弯矩正向引起正值的曲率，则公式中取“+”；反之取“－”。y)()(xMxyEI在此为)()(xMxyEI§11-3无限自由度体系的稳定——静力法HAxyEIPlyxMyPHAxHPyMA)()(xHPyxyEIAEIP2令xEIHyyA2通解为：xEIHxBxAxyA2sincos)(由边界条件：0)(,0)(,0)0(lylyy0A0sin2lEIHlBA0cos2EIHlBA得：稳定方程01cossin22EIlEIll为使B、HA不全为零(即y(x)不恒为零)：lltan§11-3无限自由度体系的稳定——静力法稳定方程ly22325lly)(llytan)(经试算：493.4)(minlEIPcr2min2219.20)493.4(lEIEIl§11-3无限自由度体系的稳定——静力法例11.8求体系的临界荷载Pcr。解：转化为有弹性支座的单根压杆。EIlEIPlHkEIPAθθlEIk3抗转弹簧刚度系数：在新的平衡状态，kMAkMA抗转弹簧的约束反力矩：0AM0kHllkH)()(xllkPyMxyEI挠曲线近似微分方程：§11-3无限自由度体系的稳定——静力法MPyxyyxkEIPAθθkMAlkHlkEIP2令)(2xllEIkyy通解为：)(sincos)(2xlEIlkxBxAxy边界条件：0)(,)0(,0)0(lyyy02EIkA0)1(2EIlkB0sincoslBlA得：00sincos)1/(0/0122llEIlkEIk稳定方程§11-3无限自由度体系的稳定——静力法2)(1tanlklEIll稳定方程将代回方程，由试算法可得，再由，可得临界荷载。EIP2lEIk3min)(lkEIPA讨论,0.1k若,0tanl则,0sinl即min)(l222lEIEIPcrEIP2219.20lEIEIPcr,.2k若,tanll则493.4)(minlEIPPcrPcr如何转换成弹性支承中心受压柱？k1=？简单结构中心受压杆Pcr的分析方法边界条件是什么？根据形常数lEIk31EI，lPEI§11-3无限自由度体系的稳定——静力法1P,00kFyyxylxPPcrPcrEI，lEI，lEA=∞如何转换成弹性支承中心受压柱？k=？边界条件是什么？33lEIk§11-3无限自由度体系的稳定——静力法对称体系的失稳问题例11.9求图示刚架的临界荷载。lII21IIlPPPPPP解：正对称失稳反对称失稳正对称失稳时：PkPlEIlEIk/42/22)(1tanlklEIll4/)(12ll83.3)(minl22/67.14lEIEIPcr§11-3无限自由度体系的稳定——静力法正对称失稳时22/67.14lEIEIPcr§11-3无限自由度体系的稳定——静力法lII21IIlPPPPPP正对称失稳反对称失稳反对称失稳时：PkPlEIlEIk/122/2312tanEIklll45.1)(minl22/10.2lEIEIPcr故原结构的临界荷载为：2/10.2lEIPcr§