第8章位移法

§9-1概述计算超静定结构→位移法力法→组成和解算典型方程力矩分配法无剪力分配法迭代法→位移法的变体→避免组成和解算典型方程易于掌握，适合手算，可不计算结点位移而直接求得杆端弯矩。§9-2力矩分配法的基本原理力矩分配法：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。劲度系数杆件AB（如图）的A断转动单位角时，A端（近端）的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。劲度系数标志该杆端抵抗转动能力的大小，又称为转动刚度。与杆件的线刚度有关，与杆件另一端（远端）的支承情况有关。§9-2力矩分配法的基本原理传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用CAB表示。ABBAABMMC等截面直杆的劲度系数和传递系数远端支承情况劲度系数S传递系数C固定4i0.5铰支3i0滑动i-1自由或轴向支杆0§9-2力矩分配法的基本原理图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1，其典型方程为0P1111RZr1PMM、图如图b、cF1F14F13F12P1jMMMMR→刚臂反力矩或结点上的不平衡力矩jSSSSiiir11413124131211134→汇交于结点1的各杆端劲度系数总和解典型方程得jjSMrRZ1F111P11§9-2力矩分配法的基本原理)a()()()()()()(F114F14F1114F1412F113F13F1113F1313F112F12F1112F1212jjjjjjjjjMMMSSMMMMMSSMMMMMSSMM由叠加法11PZMMM各杆近端弯矩为（a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的；第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给各近端→分配弯矩。jjjSS111分配系数同一结点11j§9-2力矩分配法的基本原理)b()]([)]([)]([)(F11414F4141F11313F3131F11212F21F111212F2121jjjjjMCMMMCMMMCMMSSCMM各杆远端弯矩为（b）式的第一项为固端弯矩；第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端→传递弯矩。§9-2力矩分配法的基本原理力矩分配法的步骤（1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有固端弯矩。（2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩，计算各近端的分配弯矩及各远端的传递弯矩。（3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩；远端=固端弯矩+传递弯矩§9-2力矩分配法的基本原理例9-1试作图a所示刚架的弯矩图。解：（1）计算各杆端分配系数。令iAB=iAC=EI/4=1，则iAD=2。222.092333.093445.0942131414ADACAB（2）计算固端弯矩，查表计算。mkN258m4kN50mkN758m4kN503mkN4012)m4(m/kN30mkN4012)m4(m/kN30FF2F2FDAADABBAMMMM§9-2力矩分配法的基本原理（3）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为mkN35mkN)7540(FAjM计算过程如图b。§9-2力矩分配法的基本原理（4）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图c。近端弯矩=固端弯矩+分配弯矩远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到小到可以停止。如图所示连续梁各杆件线刚度为i7334374344214442144423212110iiiiiiiiiiii，，分配系数为固端弯矩为0mkN450mkN600mkN600mkN300mkN300F32F23F21F12F10F01MMMMMM，，，计算过程如下图1、放松结点1，其不平衡力矩为-300kN·m，反号分配并传递，如图。2、放松结点2，其不平衡力矩为150+75=225kN·m，反号分配并传递，如图。3、结点1有了新的不平衡力矩-64kN·m，反号分配并传递，如图。如此反复将各结点的不平衡力矩进行分配和传递，直到传递弯矩的数值小到可以略去，停止计算。§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架例9-2试用力矩分配法计算图a所示连续梁，并绘制弯矩图。解：EF的内力是静定可去掉。1、计算分配系数设i=2EI/8m。375.0625.08.0344BADEBCDCiii2、计算固端弯矩mkN38.9mkN62.5m2kNFFFCDDCDEMMM各固端弯矩及计算过程如图b§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架例9-3试用力矩分配法计算图a所示刚架。解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图b。设：EI/8m=1，各杆线刚度如图上圆圈中所注。§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架计算过程如图c。校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件：03.152.125.2701.597.44.54CjBjMM§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架一半刚架的弯矩图如图d。原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）§9-3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架§9-4无剪力分配法图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两组，如图b、c。荷载正对称时如图b，结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。荷载反对称时如图c，结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。§9-4无剪力分配法取反对称的半刚架如图a所示。横梁BC：两端无相对线位移—无侧移杆件竖柱AB：由于支座C无水平反力，其剪力是静定的—剪力静定杆件（1）固定结点。加刚臂阻止结点B转动，不阻止其线位移，如图b。柱AB上端不能转动，但可自由地水平滑行，相当于下端固定上端滑动的梁，如图c。横梁BC因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁。查表可得632F2FqlMqlMBAAB，qlFFABBASS0，全部水平荷载由柱的下端剪力平衡。§9-4无剪力分配法当上端转动时柱AB的剪力为0，处于纯弯曲受力状态，如图e。与上端固定下端滑动同样角度时的受力和变形状态完全相同，如图f。（2）放松结点。结点B即转动Z1角，同时也发生水平位移，如图d。因而，可推知其劲度系数为i，传递系数为-1。7623237123iiiiiiBCBA，§9-4无剪力分配法固定结点时：柱AB的剪力是静定的。放松结点时：柱B端的分配弯矩乘以-1传到A端，AB杆的弯矩为常数而剪力为0。在力矩的分配传递过程中，柱中原有的剪力保持不变而不增加新的剪力—无剪力分配法。§9-4无剪力分配法图a所示刚架，各横梁均为无侧移杆，各竖柱均为剪力静定杆。只加刚臂阻止各结点的转动，不阻止其线位移，如图b。此时，各层柱子两端均无转角，只有侧移。分析任一层柱子例如BC两端的相对侧移时，可将其看作是下端固定上端滑动。如图cqlFCB2S§9-4无剪力分配法推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁，除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上各层所有水平荷载的代数和。图d为放松结点c时的情形。结点c转动角度θC，BC、CD两柱将产生相对侧移。由平衡条件，两柱剪力均为0处于纯弯矩受力状态。各柱的劲度系数取各自的线刚度i，传递系数为-1。注意：汇交于结点c的各杆才产生变形而受；。B以下各层无任何位移固不受力；D以上各层随D点一起运动，各杆两端无相对侧移，故不受力。放松结点C时，力矩的分配传递只在CB、CD、CF三杆范围内进行。放松其他结点时同理。§9-4无剪力分配法例9-4试用无剪力分配法计算图a所示刚架。解：各柱端的劲度系数=柱的线刚度。计算固端弯矩，柱AC：mkN15mkN5FFCAACMM，柱CE：除本层荷载外还有柱顶剪力10kN。mkN35mkN25FFECCEMM，mkN55mkN45FFGEEGMM，柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。§9-4无剪力分配法整个计算过程如图b。计算分配系数，如图b。弯矩图如图c。§9-4无剪力分配法例9-5试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求结点F的竖向位移。解：将支座去掉以反力代替其作用，利用对称性，将荷载和反力分解为对x轴正、反对称两组。正对称时：略去轴向变形影响，各杆弯矩皆为0；反对称时：可用无剪力分配法求解，如图b。§9-4无剪力分配法图b所示结构外力平衡，有确定的内力和变形，但可以有任意的刚体位移。假设H点不动，B点无水平位移，如图c。图c与图b受力相同。取一半结构计算，如图d。由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪力静定杆→可用无剪力分配法求解。§9-4无剪力分配法计算过程如图a。§9-4无剪力分配法弯矩图如图b。求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。)(0476.0]326128963262277032642511326521155323221811323121523[1000013EIFlllllllllllllFlEIΔFy§9-5剪力分配法适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。图a所示排架的横梁为刚性二力杆，只有一个独立结点线位移Z1。为求此位移，将各柱顶截开，得隔离体如图b所示。65S43S12S0FFFFFx，各柱顶剪力与柱顶水平位移Z1的关系可查表得125665S123443S121212S333ZhiFZhiFZhiF，，§9-5剪力分配法令256323422121333hiDhiDhiD，，侧移刚度：即杆件发生单位侧移时，所产生的杆端剪力。将剪力代入平衡条件，可求出线位移iDFDDDFZ3211从而可得各柱顶剪力为FFDDFFFDDFFFDDFiii3365S2243S1112S，，iiiDDDDDD332211，，式中剪力分配系数各柱固定端的弯矩为hFMhFMhFM56S6534S4312S21，，剪力分配法：利用剪力分配系数求柱顶剪力的方法。§9-5剪力分配法图a所示结构，荷载作用在柱上。将结构分解为只有结点线位移和只有荷载q的单独作用，如图b、c所示。图b中各柱的内力可查表得到，从而求出附加链杆上的反力F1。图c可用剪力分配法进行计算。原结构内力=图b结构的内力+图c结构的内力§9-5剪力分配法图示结构只有一个独立结点线位移，可采用剪力分配法进行计算。各住的侧移刚度为由剪力分配系数求得各柱顶剪力；各柱的杆端弯矩=柱顶剪力×h/2。333332223111121212hEIDhEIDhEID，，图示结构由水平投影平衡条件可知，任一层的总剪力等于该层以上所有水平荷载的代数和，并按剪力分配系数分配到该层的各个柱顶。由剪力可确定各竖柱的弯矩。§9-5剪力分配法例9-6试用剪力分配法求图a所示刚架竖柱的弯矩图。竖柱E为常数。解：为计算方便，设12EI/h3=1。则上层各竖柱的侧移刚度为D1=D2=D3=1下层各竖柱（左到右）的侧移刚度为2716)2/3(2122212136354hIEDhIEDD，，上、下层各柱顶的剪力分配系数为1649.027162127165567.027162122784.02716211654，，311111321§9-5剪力分配法各柱顶的剪力分别为3363S52S114SFFFFFF，FFFFFFF495.067.1835.0396S85S474