高阶导数的计算

高阶导数的计算一、高阶导数定义定义（二阶导数）若函数f的导函数'f在点0x可导，则称'f在点0x的导数为f在点0x的二阶导数，记作)(''0xf，即)('')(')('lim0000xfxxxfxfxx，此时称f在点0x二阶可导。如果f在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作)(''xf，Ix，或记作''f，''y，22dxyd。函数)(xfy的二阶导数)(''xf一般仍旧是x的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为函数)(xfy的三阶导数，记为'''y，)('''xf，或33dxyd。函数)(xfy的1n阶导数的导数称为函数)(xfy的n阶导数，记为)(ny，)(nf，或nndxyd。相应地，)(xfy在0x的n阶导数记为：0)(xxny，)(0)(xfn，0xxnndxyd。二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。1．)()()(][nnnvuvu。2．)2()2(2)1()1(1)0()()()(vuCvuCvuuvnnnnnn)()()1()1(1)()(nonnnkknknvuvuCvuCNKkknknvuC0)()(，（Leibniz公式）其中uu)0(，vv)0(。注将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：nokknknnnnnvuvuCvuCvuvu1110)(。（这里100vu），在形式上二者有相似之处。（6）几个初等函数的n阶导数公式nxxee；sinsin2nxxn；coscos2nxxn；11!ln1111nnnnxxx；（4）()1(1)!(ln)(1)nnnnxx121nnxanxa，（5）()()(1)(1)nnxnx特别的，当1时，有11!1nnnnxaxa.（7）参数方程的高阶导数求导法则设xt，yt均二阶可导，且0xt，由参数方程xxtyyt所确定的函数()yfx的一、二阶导数：ytdydxxt，22ytytdyddddtydxdxdxxtdtxtdx231xtytytxtxtytytxtxtxtxt.这里一定要注意，在求由参数方程确定的函数的导数时，t是中间变量，而符号22dydx表示对x求二次导数，因此22dydxytddxxt2xtytxtytxt.例1（1）已知baxy，求y．（2）已知tssin，求s．解：（1）ya，0y．（2）cosst，2sinst.例2求函数xye的n阶导数．解：exy，exy…显然对任意正整数n，有xnye)(．例3求sinyx的n阶导数。解1cossin()2yxx，2sinsin()2yxx，3cossin()2yxx，(4)4sinsin()2yxx，(5)5cossin()2yxx，…()sin()2nnyx.同理可得()(cos)cos()2nnxx。求n节导数，通常的方法是求一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数…，然后仔细观察得出规律，归纳出n阶导数的表达式，因此，求n阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共同的规律。例4求函数xyln的n阶导数．解：011(1)yxx，12211(1)yxx，23322!(1)yxx，(4)343!(1)yx…一般地，对任意正整数n有nnnxny)!1()1(1)(．例5求n次多项式101nnnyaxaxa的各阶导数.解-1201-1(1)nnnynaxnaxa-2301-2(-1)(1)(2)2nnnynnaxnnaxa…()00(1)(2)21!nyannnan(1)(2)0nnyy这就是说，n次多项式的一切高于n阶的导数都为0.例6已知22arctanln,xxyy求y.解两端对x求导，得)(1)()(1122222yxyxyxyx，222222222221yxyyxyxyyxyyxy，整理得xyyxy)(，故xyxyy，上式两端再对x求导，得22)()())(1())(1(xyxyyxyyxyxyyyxyxyyxyyy=2)(22xyyyx，将xyxyy代入上式，得2)(22xyyxyxyxy322)(2222yxxyyxxy322)()(2xyyx.注意在对隐函数求二阶导数时，要将y的表达式代入y中，注意，在y的最后表达式中，切不能出现y.例7求方程cos(02)sinxattybt所确定的函数的一阶导数dydx及二阶导数22dydx。解coscotsindybtbtdxata。22223()cscsinsinddybtdybdtdxadxdxatatdy。例8已知作直线运动物体的运动方程为2sin(2)6st，求在t时物体运动速度和加速度。解2cos(2)24cos(2)66stt，4sin(2)28sin(2)66stt，所以有，23,4ttttvsas。二阶导数1.设)(xfey，其中)(xf为二阶可导函数，则y（）.A、)(xfe；B、)]()([)(xfxfexf；C、)]())([(2)(xfxfexf；D、2)()]([xfexf.2、设)(lnxfy，其中)(uf为可微函数，则y（）.A、)(lnxf；B、21x；C、)(ln1)(ln12xfxxfx；D、)](ln)(ln[12xfxfx.3.设)1ln(arctan2tytx，则22dxyd（）.A、212t；B、)1(22t；C、2；D、222)1()1(2tt.4、设)2ln(2xxy，则y（）.A、22xx；B、232)2(xx；C、22xx；D、232)2(xx.5.122yx，其中y是x的函数，则_________22dxyd.6.设211ln)(xxxf，则_______)0(f.7、试求由方程0422xyyx所确定的隐函数y的二阶导数.8、设ttyttxlnln，求dxdy，22dxyd；10．证明函数22xxy满足关系式01''3yy；11、已知函数)ln(ln)(xxf，求)e(),e(22ff12、xeyxcos，求y。)5(y。解：高阶导数1、设xxyln，则)10(y（）.A、91x；B、91x；C、9!8x；D、9!8x.2、xnexy，则____________)0()(ny.4．设xeyxcos，求)5(y。5．设xxysin2，求)80(y。6、)1ln(xy，求各阶导数。7、设kxysin的n阶导数.8、设xexy22,求)20(y.二阶导数1、C；2、D；5、31y；6、23；7、解：方程两边同时对x求导，得04422yxyyyxyxyxyyxyyx222)2(22)2(55)2()2)(2()2)(21(yxyxyyxyyxyxyy3222)2(5520)2(2255yxxyxyyxyxyxxy0)2()4(5322yxxyxy.8、解：1)1(ln111lntttttdtdxdtdydxdydtdxtttdtddxyd1]1)1(ln[223)1()ln2(tttt9、12、解：)sin(cos)sin(cosxxexexeyxxx，)sin2()cossin()sin(cosxexxexxeyxxx，)cos(sin2)cossin(2xxexexeyxxx。)(cos)()(cos)(cos)()cos(25)4(15)5()5()5(xeCxeCxexeyxxxx=)sin(cos5sin10)cos(10)sin(5cosxexexexexexexxxxxx=]sincos5sin10cos10sin5[cosxxxxxxex)5()4(4535)(cos)(cos)()(cos)(xexeCxeCxxx=)cos4sin4(xxex=)cos(sin4xxex。高阶导数1、C；2、1!n；6、解：)1ln(xy，xy11，2)1(1xy，3)1(21xy，4)4()1(321xy，……一般地，有nnnxny)1()!1()1(1)(即nnnxnx)1()!1()1())1(ln(1)(。7、解ykxkcos,2sinkxky)(y2cos2kxk22sin2kxk,22sin2kxky)(y22cos3kxk……)(ny,2sinnkxkn即)()(sinnkx.2sinnkxkn同理可得)()(cosnkx.2cosnkxkn8、解设,2xeu,2xv则由莱布尼兹公式知)20(y)'()(20)(2)19(22)20(2xexexx0')'()(!2)120(202182xex22!21920222022182192220xxxexexe).9520(22220xxex