高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）2yxx与y=是同一函数（2）33yxx与y=是同一函数（3）2111xyxx与y=不是同一函数（4）22lnlnyxx与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域.（1）43)(xxf的定义域是),34[（2）xxf11ln)(的定义域是)1,(（3）)1ln()(2xxf的定义域是),2[]2,(（4）)arcsin(ln)(xxf的定义域是],1[ee（5）若)(xf的定义域是]4,4[，则)(2xf的定义域是]2,2[（6）若)(xf的定义域是]3,0[a，则)()(axfaxf的定义域是]2,[aa3.判别下列函数的奇偶性.（1）sinfxxx是奇函数（2）cosfxxx是奇函数（3）2fxxx是非奇非偶函数（4）1lg1xfxx是奇函数（5）cos(sin)fxx是偶函数（6）sinxfxx是偶函数（7）2ln(1)fxxx是奇函数（8）2cos1xfxx是偶函数⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的.（1）sinyx在其定义域内不是单调的（2）arcsinyx在其定义域内是单调递增的（3）2yxx在其定义域内不是单调的（4）0a时，axye在其定义域内是单调的，其中0a时，axye在其定义域内是单调递减的，0a时，axye在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界.（1）),1(1在区间xy上有界（2）)10,1()12ln(在区间xy上有界（3）)4,3(3在区间xy上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin在区间xy上分别有界6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.（1）sin3yx是周期函数，最小正周期是32（2）cosyx是周期函数，最小正周期是（3）tan2yx是周期函数，最小正周期是2（4）ln(cos2)yx是周期函数，最小正周期是7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(xuuuf不可以构成复合函数（2）xuuuf2sin),1ln()(不可以构成复合函数（3）221ln,)(xuuuf不可以构成复合函数（4）212,arccos)(xxuuuf可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解.（1）对复合函数43)(2xxxf的分解结果是：43,)(2xxuuxf（2）对复合函数32)(xexf的分解结果是：32,)(xuexfu（3）对复合函数()ln(23)fxx的分解结果是：32,ln)(xuuxf（4）对复合函数()arcsin(1)fxx的分解结果是：1,sin)(xuuaccxf9.求函数值或表达式.（1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222xxxffffxxxf则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin)(fffxxxxf则.（3）已知函数21-)21arcsin(,sin)(fxxf则.（4）已知函数xxf2cos)(sin，则1,1,21)(2xxxf习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.（1）,67,51,45,31,23,1:nx没有极限（2）nxn1有极限，01limnn（3）2sinnxn没有极限（4）1)1(3nnxnn有极限，0]1)1[(lim3nnnn2.分析下列函数的变化趋势，求极限（1）01lim2xx（2）011limxx（3）)2ln(limxx（4）2232limxxx3.图略，)(lim0xfx不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0x时，2100x是无穷小量（2）0x时，x2是无穷大量（3）x时，112xx是无穷小量（4）x时，xe是无穷大量（5）n时，3)1(2nnn是无穷大量（6）x时，xxsin是无穷小量（7）x时，x1sin是无穷小量（8）0x时，12x是无穷小量5.已知函数2)3(1)(xxxf，则)(xf在x或x或x的过程中是无穷小量，在3x或3x或3x的过程中是无穷大量？6.当1x时，无穷小1x与下列无穷小是否同阶？是否等价？（１）当1x时，无穷小1x与无穷小31x同阶，但不等价（２）当1x时，无穷小1x与无穷小21(1)2x同阶，而且等价习题1.31.设函数xxf)(，则xtxftxft21)()(lim02.设函数2,122,1)(2xxxxxf，则5)(lim,5)(lim,5)(lim222xfxfxfxxx.3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim22xxx（2）3213lim2421xxxx（3）35)321(lim0xx（4）242lim22xxxx（5）2111lim220xxx（6）21)21(lim222nnnnn（7）1122lim2xxxx（8）311lim31xxx（9）61)319(lim2xxxx（10）112lim1xxxx（11）201020101032)53()32()1(limxxxx4.已知516lim21xaxxx，则7a.5.2)(lim2xkxxx，则4k.6.求下列极限：（1）252sin5sinlim0xxx（2）1sin2tanlim0xxxx（3）43coscoslim20xxxx（4）2)sin()2tan(lim230xxxxx（5）11sinlimxxx（6）0sinsinlim0xxxxx（7）323arcsin2lim0xxx（8）21sintanlim30xxxx7.求下列极限：（1）82)41(limexxx（2）21)21(limexxx（3）3220)33(limexxx（4）21)11(limexxxx（5）5ln51)ln1(limexxx（6）exxxsec2)cos1(lim8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctanlim0xxx（2）214lim20xxex（3）22cos1lim20xxx（4）21)21ln(lim0xxex习题1.41.设函数1,31,11)(2xxxxxf，则()fx在1x处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1）函数11)(2xxf的间断点有点1x和点1x，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xexf1)(的间断点有点0x，它是第二类间断点（3）函数xxxxf)1(1)(2的间断点有点0x和点1x，其中点0x是第二类间断点中的无穷间断点，点1x是第一类间断点（4）函数1,01,11)(2xxxxxf的间断点有点1x，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数0,20,2)(2xxxxfx的间断点有点0x，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数2,32,24)(2xxxxxf的间断点有点2x，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数0,11sin0,0,sin)(xxxxkxxxxf，当1k时，函数)(xf在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim21xxx（2）0sinlglim2xx（3）021limcossin0xxxee（4）2lnln)1ln(lim1xxxx（5）2121lim224xxxx（6）11lim1xxxx（7）exxex1lnlim（8）4arctanlim1xx5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C）是初等函数.（A）)2arcsin(2xy（B）QxQxxf10)(（C）12xy（D）1110)(2xxxxxf2.下列极限存在的是（B）.（A）xx4lim（B）131lim33xxx（C）xxlnlim0（D）11sinlim1xx3.当0x时，2tanx与下列（D）不是等价无穷小.（A）2tanx（B）2x（C）2sinx（D）2cosx4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B）.（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）无关条件5.已知0sinlim2xaxx,则常数a（C）.（A）0（B）1（C）2（D）46.闭区间[,]ab上的连续函数()yfx在[,]ab上一定是（C）.（A）单调函数（B）奇函数或偶函数（C）有界函数（D）周期函数二、填空题1.设10()20xxxfxx，则(2)f4.2.函数5cos3yx是由简单函数xvvuuy3,cos,3复合而成的.3.点1x是函数1,1()3,1xxfxxx的第一类间断点中的跳跃间断点.4.当x时，函数3xy是无穷小.5.极限2lim1xxx=2e.6.函数ln(4)1yxx的连续区间为4,1.三、计算下列极限1.24233lim1xxxx=02.223lim2xxx不存在3.2211lim21xxxx214.22356lim815xxxxx5.1)2(1lim22xxxx6.4281lim5xxxx不存在7.63132lim1xxx8.231lim(3cos)1xxxx=09.21sincos1lim010.1coslimxxxx11.212sin)1ln(lim0xxx12.21)81221(lim32xxx13.320lim(12)xxx3e14.122lim(1)xxx1e15.101limxxxxe16.1lim()1xxxx2e四、综合题1.函数2101()11xxfxxx在点1x处不连续，在点2x处连续，函数的图像略。2.设函数0()10sin0xexfxxxxx则0lim()xfx=1,)(xf在点0x处连续。3.设函数sin,0()2,05kxxxfxaxx，当为任意实数ak,52时，)(xf在0x处连续。4.（略）第2章导数与微分习题2.11.已知质点作直线运动方程为32ts，则该质点在5t时的瞬时速度为10.2.用函数)(xf在0x的导数)(0xf表示下列极限:（1）)(2)()2(lim0000xfxxfxxfx（2）2)(2)()(lim0000xfxxfxxfx（3）)(2)()(lim00000000xfttxftxft（4）000()()limxxfxfxxx)(0xf3.利用基本公式1xx，求下列函数的导数:（1）1,eeexyxy则（2）343131,xyxy则（3）3xxy则6561xy（4）xy，则8781