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平面和直线投影特点实形性：投影反映实形。直线或平面平行于投影面时。积聚性：投影积聚成一点或一条线。直线或平面垂直于投影面时。类似性：投影成为缩小的类似形。直线或平面倾斜于投影面时。第十讲例：已知平面的两投影，求第三投影。new例：找出图中所标各面的第三投影，并判断它们的空间位置。new1322ⅡⅢ水平面侧平面铅垂平面实形PQBFECp例：找出投影图中所标的Ｐ平面、Ｑ平面及ＣＢ、ＦＥ直线的三投影，并判断它们的空间位置。qqqppＰ平面为一般位置平面；Ｑ平面为正平面。ＣＢ直线为正平线；ＦＥ直线为水平线。实形实长new总结在平面作图中要注意利用实形性、积聚性和类似性的性质。平面的三个投影中，必然有一个是封闭线框。一般情况下投影图上的一个封闭线框表示空间一个面的投影。平面上的点和直线点和直线在于面上的几何条件是：•(1)点在于面上，则该点必定在于面上的一条直线上。•(2)直线在于面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。上述几何条件，是解决有关平面上点和直线的作图和判别等习题的依据。可以解决三类问题：•判别已知点、线是否属于平面；•完成已知平面上的点和直线的投影；•完成多边形的投影。cbaa′b′c′b″a″c″ACB平面内的点和直线Ma′b′c′m′m″m若一直线通过平面上的两点，则此直线在该平面上。此直线上的任意点都在该平面在上。new例：判别已知点、线是否属于平面例：判别已知点、线是否属于平面例：完成多边形的投影例：完成多边形的投影ＯYWc′aＸYＨＺcba′b′a〞b〞c〞mm〞m′例：已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ点的三面投影。3·求作平面梯形ABCD的梯形EFGH的水平投影。例：求作平面梯形ABCD上的梯形EFGH的水平投影。题解：a′d′e′g′f′h′1′c′2′b′defc1ag2hb例：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面投影abd，试完成四边形的正面投影。new平面内的特殊位置直线一、平面内的投影面平行线１.平面内的水平线２.平面内的正平线３.平面内的侧平线newPVPWPH平面内的水平线平面内的正平线平面内的侧平线平面内的投影面平行线new例：在平面内作一条距H面为20mm的水平线。水平线例：在水平面内作一条距Ｖ面为20mm的正平线。正平线例：过N点作一正平线MN与已知平面ABC平行。c′oXa′ab′bcn′nnabca′Xb′c′n′om′mc′oXa′ab′bcn′nnabca′Xb′c′n′om′m题解：例：求作直线AB的水平投影，并在直线AB上求一点C，使C点距H、V面等距离。YHXZYwob′b″a″a′a″bYHa′Xob′Zb″Ywpwacc′c″45°new空间分析4545CcccV/H的中垂面中垂面上所有的点距V面和Ｈ在的距离相等。YHXZYwoa′a″a″a′a″bYHa′Xob′Zb″Ywpwacc′c″45°题解：new例：求作直线MN，使其与直线AB、CD、EF相交，并与直线CD垂直。c(b)adfe′a′Xec′b′f′d′oPHcd(b)afXa′c′ed′b′e′f′om′n′mnc(b)adfe′a′Xec′b′f′d′oPHcd(b)afXa′c′ed′b′e′f′om′n′mn题解：例：完成正方形ABCD的两面投影。题解：▽y二、平面内对投影面的最大斜度线。平面内垂直于该投影面内任意一条投影面平行线的直线，称为平面内对相应投影面的最大斜度线。new平面内对投影面的最大斜度线有三种１.垂直于平面内水平线的直线，是平面内对水平面的最大斜度线。２.垂直于平面内正平线的直线，是平面内对正平面的最大斜度线。３.垂直于平面内侧平线的直线，是平面内对侧平面的最大斜度线。new平面内对投影面的最大斜度线用于一般位置平面对投影面倾角的求法newＢ1ＢPHＭＮa1平面P对水平面H的最大斜度线A1.作平面内的水平线；2.作对H面的最大斜度线；3.用直角三角形法求最大斜度线对H面的倾角。求一般位置平面对H面倾角例：求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角最大斜度线实长最大斜度线水平投影new例：求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角最大斜度线正面投影最大斜度线实长直线与平面平行直线与平面平行•平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面相互平行。即该直线投影和该平面上某直线投影相平行。•若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线，则两平面互相平行。直线与投影面垂直面平行•直线的投影平行平行于平面有积聚性的同名投影，或者直线亦积聚为一点。LKLABDC１.若直线平行于平面内某一直线，则直线与该平面平行直线与平面平行作图问题判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。判别判别已知线面是否平行判别判别已知线面是否平行Ｏc′aＸcba′b′dd′例：判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。e′e直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。Ｏc′aＸcba′b′mm′例：过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行作直线与已知平面平行作直线与已知平面平行包含已知直线作平面与另一已知直线平行包含已知直线作平面与另一已知直线平行平面与平面平行若平面上的两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面相互平行。ＭＮＢＣＡＫ两平面平行的作图问题判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。Ｏc′aＸcba′b′d′例：过点Ｄ作已知平面的平行面。ee′dff′Ｏc′aＸcba′b′dd′例：判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。e′ef′k′g′gkf两平面不平行直线与平面相交直线与平面不平行就会相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交的问题就是求直线和平面的交点，难点是判断直线的可见性。线面的交点线面的交点平面与平面相交平面与平面相交，其交线是平面与平面的共有线。求两平面交线的基本方法是求出两个共有点或求出一个共有点及交线的方向。线、面相交作图方法（1）一般位置直线与有积聚性平面相交，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一投影可在直线的投影上找到。（面上定点）线、面相交作图方法（2）一般位置平面与有积聚性直线相交，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上求点的方法求出。（一眼可见）线、面相交作图方法（3）有积聚性投影的平面与平面相交，交线的一个投影必定与其中一个平面的积聚性投影重合，交线的另一个投影可根据平面上求点的方法求出。（求积聚点）教材P44例2直线与平面相交作图方法（4）一般位置直线与一般位置平面相交，：求交点的方法和步骤如下：•a、过直线作特殊位置辅助平面；•b、求辅助平面与已知平面的交线；•c、求交线与已知直线的交点，交点即为所求。求出交点后，再利用重影点判别各投影的可见性。一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交直线与平面相交作图方法（5）一特殊平面和一般平面（因为积聚性平面投影与交线投影相重合，可以转化为问题4）教材P44例题直线与平面相交作图方法（6）两一般平面相交求作两一般位置平面交线的方法有线面交点法和三面共点法两种。线面交点法：两一般位置平面的各同面投影都重叠时，通常用求一般位置直线与一般位置平面交点的方法，求出点。求出组成一平面的两直线与另一平面的两个交点，然后连线即得所求交线。直线与平面相交作图方法三面共点法：两一般位置平面的各同面投影都不重叠或不同时重叠时，通常用三面共点法求交线，其作图原理为三个相交的平面必定有一个公共点，而此点又必定在两个平面的交线上。三面共点法求交线的作图步骤如下：•a、作一特殊位置辅助平面与两已知面相交；•b、求辅助平面与两平面的两条交线；•c、求两交线的交点，此点即为两已知平面交线上的点；•d、同理再作一辅助平面可求出交线上另外一点，连接两交点即为两平面的交线。可见性判定线与面的交点是直线和平面共有点，也是直线被平面遮掩可见和不可见部分的分界点。可见性判定方法：•1、找出要判定的直线•2、确定可见的交点•3、判断另一点的相对可见性•4、如可见则该直线所在此段可见，不可见则不可见•另一侧必反与已判断一侧可见性相反。直线与平面垂直几何条件：若直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则该直线垂直于平面内的所有直线，即垂直于平面。投影特性：若直线垂直于平面，则直线的正面投影垂直于这个平面上的正平线的正面投影；直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影，直线的侧面投影垂直于这个平面上的侧平线的侧面投影。利用直线与平面垂直的作图可解决点到平面、点到直线、平面到平面及直线到直线间的距离问题。综合解题示例已知等腰三角形ABC的边AC，底边在AD上，求做ABC。过A点作直线平行于三角形DEF，并与BC相交已知长方形ABCD，一边AB及分边BC正面投影，求做长方形ABCD。