第二节-一元二次不等式及其解法(1)

第二节一元二次不等式及其解法（1）一、基础知识批注——理解深一点1．一元二次不等式的解法步骤(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0).在不等式ax2＋bx＋c0a≠0中，如果二次项系数a0，可根据不等式的性质，将其转化为正数.(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅开口向上的二次不等式的解法顺口溜：大于取两边，小于取中间．二、常用结论汇总——规律多一点1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a0且Δ0；(2)不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a0且Δ0；(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．2．简单分式不等式：(1)fxgx≥0⇔fxgx≥0，gx≠0；(2)fxgx0⇔f(x)g(x)0.三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()(二)选一选：1．不等式2x2－x－30的解集为()A.x－1x32B.xx32或x－1C.x－32x1D.xx1或x－322．若集合M＝{x|x2＋5x－140}，N＝{x|1x4}，则M∩N等于()A．∅B．(1,4)C．(2,4)D．(1,2)3．若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的取值范围是()A．(0,4)B．[0,4)C．(0,4]D．[0,4](三)填一填：4．函数f(x)＝－x＋xx＋1的定义域为________．5．不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b的值是________．考点一一元二次不等式的解法考法(一)不含参数的一元二次不等式[典例]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；[解题技法]1．解一元二次不等式的4个步骤2．求解不含参数的一元二次不等式口诀：函数方程不等式，图象交点是标志；首项系数先化正，判别式，符号定；若为正，记口诀，小于中间大于侧；或为负，或为零，配方观察解自明．考法(二)含参数的一元二次不等式[典例]解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．[解题技法]1．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．2．求解含参数一元二次不等式的分类歌诀含参二次不等式，有无实根判别式；或为负，或为零，配方法，解自明；若为正，求两根，两种题型要区分；首项系数无参数，根的大小定胜负；首项系数含参数，先论系数零正负；系数化一是旨要，负数变换不等号．[题组训练]1．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是()A.xx≤－1或x≥92B.x－1≤x≤92C.xx≤－92或x≥1D.x－92≤x≤1