第四节-数列求和(1)

第四节数列求和（1）一、基础知识批注——理解深一点1．公式法(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n项和：①1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．二、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.()(2)当n≥2时，1n2－1＝121n－1－1n＋1.()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a2＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(二)选一选1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝()A．41B．48C．49D．56错位相减时，注意最后一项的符号.2．在数列{an}中，an＝1nn＋1，若{an}的前n项和为20192020，则项数n为()A．2016B．2017C．2018D．20193．数列{1＋2n－1}的前n项和为()A．1＋2nB．2＋2nC．n＋2n－1D．n＋2＋2n(三)填一填4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.5．已知数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n≤5，2n－11，n5，则{an}的前10项和S10＝________.方法一分组转化法求和[典例]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．[解题技法]1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型[题组训练]1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，则其前20项和为()A．379＋1220B．399＋1220C．419＋1220D．439＋12202．(2019·资阳诊断)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋2，n是奇数，2an，n是偶数，则数列{an}的前20项和为()A．1121B．1122C．1123D．1124