工程力学(静力学与材料力学)-7B-弯曲强度2(应力分析与

第七章弯曲强度2019年8月7日课堂教学软件(7)材料力学第七章弯曲强度第7章梁的强度(2)-应力分析与强度计算返回总目录第七章弯曲强度在一般情形下，分布内力在各点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分布规律确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点的数值。怎样确定横截面上的内力分布规律呢？第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度弯曲强度计算弯曲剪应力分析结论与讨论平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度梁弯曲的若干定义与概念纯弯曲时，梁横截面上正应力分析弯曲正应力公式的应用与推广平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度梁弯曲的若干定义与概念对称面——梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetricplane)。平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度主轴平面——梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的主轴平面(planeincludingprincipalaxes)。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面。梁弯曲的若干定义与概念cZCOYCO平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度平面弯曲——所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(planebending)。梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度纯弯曲——一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(purebending)。在纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度横向弯曲——梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲，简称横弯曲(transversebending)。梁弯曲的若干定义与概念平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度梁弯曲的若干定义与概念梁的中性层与横截面的中性轴——梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，既不发生伸长变形，也不发生缩短变形，称为梁的中性层或中性面（neutralsurface）。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴(neutralaxis)。平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度1、几何关系纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为平面假设。中性层中性轴平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度dyabddxabdxdOO)(21)()(aydddyababab变形的几何关系为：平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度2、物理关系yEE由虎克定律)()(aydddyababab平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度#弯曲正应力分布规律●与中性轴距离相等的点，正应力相等；●正应力大小与其到中性轴距离成正比；●弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；●弯矩为负时，正应力上拉下压；●中性轴上，正应力等于零yEEM平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度3、静力学关系0AdA0AAydAEydAE0AydA000cczcAyAAySAyydAZ:中性轴yEE中性轴必然通过横截面的形心静矩，面积矩第七章弯曲强度MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或令yEE抗弯刚度zIMy第七章弯曲强度zIMy其中：M-------横截面的弯矩；Y-------所求应力点到中性轴的距离；IZ-------横截面对中性轴的惯性矩；公式的适用范围：●弹性范围；●纯弯曲变形；平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程纯弯曲时，梁横截面上正应力分析平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度最大正应力公式与弯曲截面模量工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到zzMyImaxmaxzzzzMyMIW称为弯曲截面系数，单位是mm3或m3。maxzzIWy＝平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面AdAyI2ZZmaxyzIW644ZdI332zdW)1(6444ZDI34(1)32zDW123ZbhI26zbhW12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212zbhbhWh平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度梁弯曲后其轴线的曲率计算公式这是梁弯曲时的另一个重要公式——梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式。其中EIz称为梁的弯曲刚度。CyyE＝＝－zzMyI=-zzEIM＝1这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题maxmaxzzMyImaxmaxzzMyI平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于非纯弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形，如果是细长杆，也是近似适用的。理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，这种翘曲对正应力分布的影响是很小的。对于细长梁这种影响更小，通常都可以忽略不计。平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度例题2矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形的宽度b=20mm，高度h＝30mm；均布载荷集度q＝10kN/m；梁的长度l＝450mm。求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。l/2l/2平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度l/2l/2解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值根据静力学平衡方程MA＝0和MB＝0，可以求得支座A和B处的约束力分别为N1025.2210450mm10kN/m1023-33RRqlFFBAFRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度解：1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值3RR22510N2.ABqlFF梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为mN10253.08)10450mm(10kN/m10832-332maxqlMl/2l/2FRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度解：2.计算惯性矩根据矩形截面惯性矩的公式,本例题中，矩形截面对z轴的惯性矩为483-3-33m105412)10mm30(10mm2012.bhIzl/2l/2FRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度解：3．求弯矩最大截面上1、2两点的正应力均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴(x)就是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可以判断：1点受拉应力，2点受压应力。1、2两点到中性轴的距离分别为m105.741030442331hhhym1015210302332hyl/2l/2FRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度解：3．求弯矩最大截面上1、2两点的正应力FRAFRB317510m.y321510my于是，在弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为42.2MPaPa104220m104.5m105710m0.253N1848-331max..zIyM84.2MPaPa108420m104.5m101510m0.253N2348-332max.zIyM平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度例题3丁字形截面简支梁在中点承受集中力FP＝32kN，梁的长度l=2m。丁字形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz=1.02108mm4。求：弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。C平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度CMmax解：1．确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值根据静力学平衡方程MA＝0和MB＝0，可以求得支座A和B处的约束力分别为FRA＝FRB＝16kN。根据内力分析，梁中点的截面上弯矩最大，数值为Pmax16kNm4FlMFRAFRB平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度FRAFRBC2．确定中性轴的位置丁字形截面只有一根对称轴，而且载荷方向沿着对称轴方向，因此，中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴，z轴就是中性轴。中性轴平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度3．确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离根据中性轴的位置和中间截面上最大弯矩的实际方向，可以确定中性轴以上部分承受压应力；中性轴以下部分承受拉应力。最大拉应力作用点和最大压应力作用点分别为到中性轴最远的下边缘和上边缘上的各点。由截面尺寸，可以确定最大拉应力作用点和最大压应力作用点到中性轴的距离分别为：FRAFRB中性轴mm6.1534.9650200max－＋＝ymm4.96maxyC平面弯曲时梁横截面上的正应力第7章B弯曲强度(2)－应力分析与强度计算第七章弯曲强度4．计算弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力3-36maxmax484316kNm10135.6mm10240910Pa2409MPa1.0210mm10..zMyI＝＝3-36maxmax484316kNm10964mm10151210Pa1512MPa10210mm10....zMyI＝＝FRAFRB中性轴C平面弯曲时梁