二次函数专题复习

二次函数专题复习【课标要求】1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并解决简单的实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】第1讲二次函数【知识要点】1.二次函数的定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数.2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）个单位得到函数y=ax2k；将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“+”）平移h（h﹥0）个单位得到y=a（x2)h.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（（左加右减）．【典型例题】例1抛物线y=（x－2）2+3的顶点坐标是（）A.（－2，3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（2，－3）分析：考查由二次函数的顶点式y=a（x－h）2+k，确定顶点坐标（h，k）解：B例2将二次函数y=x2+4x－8，化为y=（x+m）2+n的形式正确的是（）A.y=（x+2）2－8B.y=（x+2）2－4C.y=（x+2）2+12D.y=（x+2）2－12分析：考查配方法．解：D例3二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A.y=x2－2B.y=（x－2）2C.y=x2+2D.y=（x+2）2分析：考查函数图象平移的规律，关键看抛物线的顶点移动前后的位置（即坐标），抛物线形状未变.解：C例4已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1(1)根据表中给出的值，计算对应的函数值，并填在表格中；x－3－2－10123y1=2xy2=x2+1(2)观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。分析：证明y1≤y2，可以说明y2－y1≥0解：（略）【知识运用】一、选择题1.下列函数中,是二次函数的是()A.25xyB.y=2x2C.y=x2－2x3+1D.y=x+22.抛物线y=（x－1）2+2的对称轴是()A.直线x=－1B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=－23.已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是()A.1B.2C.－2D.2或－24.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2－3x+5,则有()A.b=3,c=7B.b=－9,c=－15C.b=3,c=3D.b=－9,c=21二、填空题5.平移抛物线y=x2+2x－8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式．6.若将二次函数y=x2－2x+3配为y=(x－h)2+k的形式,则y=．7.已知二次函数y=ax2+bx－1的图象如图20－1－1所示,则点(a,b)关于原点的对称点在第______象限．三、解答题8.等边三角形边长为x，面积为y，求x与y之间的函数关系式．9.把一个长为100m，宽为60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，如果把游泳池的长增加xm．（1）写出扩建后面积y（m2）与x（m）之间的关系式；（2）水上游乐场的面积能否达到20000m2？第二讲二次函数的图象及性质图20-1-1【知识要点】1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是以（－ab2，abac442）为顶点，以x=－ab2为对称轴的一条抛物线.2、在画二次函数的图象时应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴交点，与y轴交点.3、抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系：①当a﹥0时，开口向上，a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴.在对称轴x=－ab2的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－ab2的右侧，y随x的增大而增大.此时，y有最小值y=abac442，顶点（－ab2，abac442）为最低点.（同样的方法，分析当a﹤0时的情况）②ab﹥0时，对称轴在y轴左侧；ab=0时，对称轴是y轴；ab﹤0时，对称轴在y轴右侧.c﹥0时，与y轴正半轴相交；c=0时，经过原点；c﹤0时，与y轴负半轴相交.【典型例题】例1用列表法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时先列一个表,当表中自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的值依次为20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一个值不正确,这个不正确的值是()A.506B.380C.274D.182分析：考查二次函数的性质,56－20=36,110－56=54,182－110=72,274－182=92,380－274=106,506－380=126,显然274这个值不正确.解：C例2已知二次函数y=ax2－2x+3的图象如图20－2－1,则一次函数y=ax+3的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：考查二次函数的图象的特征,观察图象可知a﹤0,又根据3﹥0,可推断一次函数y=ax+3的图象经过第一、二、四象限.解：C例3图20－2－2中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确．．．的是（）A.h=mB.k=nC.k﹥nD.h﹥0，k﹥0分析：考查在同一直角坐标系下，不同的抛物线的特征与相应字母系数的关系．解：B图20-2-1图20-2-2例4心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)①x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?②第10分时,学生的接受能力是多少?③第几分时,学生的接受能力最强?分析：解决这类问题先求二次函数的顶点坐标,再结合开口方向及自变量的取值范围,画出草图,观察图象得出结论.解：①y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1(x－13)2+59.9草图如图20－2－3,所以,当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强;当13﹤x≤30时,学生的接受能力逐步降低.②当x=10时,y=－0.1(x－13)2+59.9=59,即第10分时,学生的接受能力是59.③当x=13时,y取最大值.所以第13分时,学生的接受能力最强.【知识运用】一、选择题1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A.－1B.0C.1D.22．关于二次函数y=(x+2)2－3的最大(小)值,叙述正确的是()A.当x=2时,有最大值－3B.当x=－2时,有最大值－3C.当x=2时,有最小值－3D.当x=－2时,有最小值－33．已知a﹤－1,点(a－1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则()A.y1﹤y2﹤y3B.y1﹤y3﹤y2C.y3﹤y2﹤y1D.y2﹤y1﹤y34．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图20－2－4所示,则下列结论正确的是()A.a﹥0,b﹤0,c﹥0B.a﹤0,b﹤0,c﹥0C.a﹤0,b﹥0,c﹤0D.a﹤0,b﹥0,c﹥0二、填空题5．在二次函数y=ax2+bx+c（c≠0）中，已知b是a、c的比例中项，且当x=0时，y=－4，那么y的最值为（说明最大值还是最小值）6．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图象表示的函数关系式为三、解答题7．已知正方形周长为xcm，面积为ycm2.图20-2-3图20-2-4（1）写出x与y的函数关系式；（2）画出图象；(3)根据图象回答，当y=41cm2时，正方形的周长.8．某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图20－2－5，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的那些信息？第三讲二次函数与方程（组）【知识要点】图20-2-51、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点△﹥0抛物线与x轴相交.②有一个交点△=0抛物线与x轴相切.③没有交点△﹤0抛物线与x轴相离.2．一次函数y=kx+n（k≠0）的图象L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目确定：①当方程组有两个不同的解时L与G有两个交点；②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G有没有交点.【典型例题】例1若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=（只要求写出一个）分析：考查二次函数的图象的性质，其实，当c=4时，二次函数y=（x－2）2与x轴只有一个交点，因而当c﹥4，二次函数与x轴没有交点.解：5（答案不唯一）例2二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为分析：考查二次函数的图象与坐标轴交点的问题.由x2－2x－3=0，得x1=－1，x2=3，然后观察图象，确定点（－1，0）与点（3，0）之间的距离.解：4例3已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0)．(1)求b、c的值．(2)若抛物线与y轴交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）．分析：抛物线与x轴交点的横坐标，也就是方程x2+bx+c=0的实数根.因为只有一个实数根，也就是方程有两个相等实数根，即b2－4c=0.再把A点坐标代入，求出b、c的值.△OAB为直角三角形，一条直角边OA=2，另一条直角边为抛物线与y轴交点的纵坐标的绝对值，求出交点B的坐标即可.用勾股定理求出AB的长，最后求得周长.解：（1）因为抛物线与x轴只有一个交点,所以x2+bx+c=0有两个相等实数根.所以b2－4c=0.①又因为A（2，0）在抛物线上，所以4+2b+c=0②，由①②得，b=－4，c=4.（2）由（1）得抛物线解析式为y=x2－4x+4，当x=0时，y=4，所以B（0，4），即OB=4.所以，AB=5222OBOA，所以△OAB的周长为：2+4+25=6+25.例4如图20－3－1,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该大门的高h.分析：本题关键是建立坐标系,不同坐标系下,函数形式不一样.解：如图20－3－2建立坐标系.设抛物线解析式为y=ax2.把B(9,－h),C(8,－h+1.7)分别代入解析式,得∴ahah647.181解得1.81.0ha∴该大门的高h为8.1米.【知识运用】一、选择题1.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（）A.a﹥0，b2－4ac﹤0B.a﹤0，b2－4ac﹥0C.a﹥0，b2－4ac﹥0D.a﹤0，b2－4ac﹤02.抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A.m﹥41B.m﹥－41C.m﹤41D.m﹤－413.一次函数y=2x－3与二次函数y=x2－2x+1的图象有（）A.一个交点B.两个交点C.无数个交点D.无交点4.二次函数y=ax2+bx+c的最大值是零，那么代数式abaca442的化简结果是（）A.aB.－aC.1D.0二、填空题5.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1,则a+c=6.已知二次函数y=－4x2－2mx+m2与反比例函数y=xm42的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2,则m的值是三、解答题图20-3-17.已知二次函数y=ax2－2的图象经过点