北师大版数学必修一章末复习提升课-第二章-函-数

章末复习提升课知能整合提升1.把握函数概念，重视构成要素函数的三要素是定义域、对应关系、值域．(1)定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值集合．(2)对应关系f可以是解析式、表格、图像，对应函数的三种表示方法——解析法、列表法、图像法．(3)函数的值域由自变量和对应关系确定．2．求函数定义域的注意点(1)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(2)求定义域的相关准则：①分式中分母不为零；②偶次根式中被开方式非负；③x0中x≠0；④解析式由几个式子构成时，定义域是使各式子有意义的自变量的取值集合的交集．(3)由实际问题建立的函数解析式，定义域要符合实际．3．分段函数的深入理解(1)分段函数是一个函数，而它的解析式表现为多个，依据定义域来分段．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(2)分段函数的图像由几个不同部分组成，画分段函数的图像要将各段图像画在同一坐标系中，并注意各图像端点的虚实．(3)求函数值要“对号入座”，即先确定自变量所在定义域，再按对应解析式求值；求函数值对应的x值，要将函数值代入各解析式一一确定．4．细解函数的单调性与奇偶性单调性与奇偶性是函数的两个珠联璧合的重要性质．它们之间的关系非常密切，相辅相成，但两者之间既有联系又有区别．(1)单调性与奇偶性的区别①函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在其整个定义域上也单调；函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数的整体性质．②函数的单调性反映了图像的增减变化；函数的奇偶性反映了图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．③函数的单调性是在一定区间上讨论的，而对函数的奇偶性而言，其定义域可能是区间，也可能是离散的点．(2)单调性与奇偶性的联系奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．(3)单调性与奇偶性应用的注意点①若一个函数在两个不同的区间上具有相同的单调性，则区间之间应用“和”连接，而不能用“∪”．②函数奇偶性的判断中应先求定义域，若定义域关于原点对称，再依据定义判断奇偶性．③对于奇函数，若它在x＝0处有意义，则它的图像必过原点，即f(0)＝0.热点考点例析专题一函数的定义域问题确定函数定义域的主要依据(1)当f(x)是整式时，定义域为R.(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合．(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合．(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或底数大于0的x取值范围．(5)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义．(6)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，求函数f[φ(x)]的定义域，可解不等式a≤φ(x)≤b求得；如果已知函数f[φ(x)]的定义域，可通过求函数φ(x)的值域，求得函数f(x)的定义域．这类题目也是常见题型，因而要掌握好它的解法．[例1](1)函数y＝1－x22x2－3x－2的定义域为()A．(－∞，1]B．[－1,1]C．[1,2)∪(2，＋∞)D.－1，－12∪－12，1(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域________．【解析】(1)由函数y＝1－x22x2－3x－2得1－x2≥0，2x2－3x－2≠0，解得－1≤x≤1，x≠2且x≠－12，即－1≤x≤1且x≠－12，所以所求函数的定义域为－1，－12∪－12，1.(2)f(x2＋1)是以x2＋1为自变量，f为对应关系的函数，∴0≤x2＋1≤1.∴－1≤x2≤0.∴x＝0.∴函数f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．【答案】(1)D(2){x|x＝0},方法归纳,函数定义域的类型及相应的求解方法(1)函数解析式已知：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要使解析式有意义，还应使实际问题有意义．(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．能力挑战1(1)函数y＝x＋10|x|－x的定义域为__________________；(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，f(1－3x)的定义域为________．【解析】(1)令x＋1≠0，|x|－x0，即x≠－1，x0，所以函数的定义域为{x|x0且x≠－1}．(2)f(2x－1)的定义域为[0,1)，即－1≤2x－11，∴f(x)的定义域为[－1,1)，即－1≤1－3x1,0x≤23.故函数f(1－3x)的定义域为0，23.【答案】(1){x|x0且x≠－1}(2)0，23专题二函数的值域(最值)问题求函数值域的基本方法：函数的值域由函数的对应法则及定义域确定，求函数值域常用的方法有：(1)配方法；(2)分离常数法；(3)图像法；(4)换元法；(5)单调性法；(6)判别式法；等等．[例2]求下列函数的值域：(1)y＝2x5x＋1；(2)y＝2x2－2x＋3x2－x＋1；(3)y＝2x－3＋4x－13.【解析】(1)方法一：∵y＝2x5x＋1＝25－255x＋1≠25，∴y的值域为－∞，25∪25，＋∞.方法二：将x用y表示为x＝y2－5y，∴y≠25，即值域为－∞，25∪25，＋∞.(2)方法一：∵y＝2x2－x＋1＋1x2－x＋1＝2＋1x－122＋34，又x－122＋34≥34，∴01x－122＋34≤43，即值域为2，103.方法二：原式可化为：(y－2)x2－(y－2)x＋y－3＝0.当y＝2时，x不存在，故y≠2.又∵x∈R，∴Δ＝(2－y)2－4(y－2)(y－3)≥0，即(y－2)(3y－10)≤0，∴2≤y≤103，即值域为2，103.(3)方法一(换元法)：令t＝4x－13(t≥0)，则x＝14(t2＋13)，∴y＝12(t＋1)2＋3(t≥0)，而y＝12(t＋1)2＋3在t∈[0，＋∞]上是增函数，故值域为72，＋∞.方法二(函数单调性)：函数的定义域为x∈134，＋∞，而y1＝2x－3，y2＝4x－13都是134，＋∞上的增函数，∴y＝2x－3＋4x－13在134，＋∞上单调递增．∴y∈72，＋∞.方法归纳,求函数值域的方法(1)直接法．即由函数的定义域和对应关系直接导出值域．(2)图像法．即利用函数的图像求解．(3)配方法：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通常先经过配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，借助于二次函数的单调性或直接根据其图像求解．(4)换元法．形如y＝ax＋b＋cx＋d(ac≠0)的函数，可通过换元转化为二次函数在特定区间上的值域问题．(5)利用函数的单调性．根据函数的单调性及定义域求函数的最值，从而确定值域．能力挑战2设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝gx＋x＋4，xgx，gx－x，x≥gx.(1)求f(3)；(2)求函数f(x)的值域．【解析】(1)因为g(3)＝73，所以f(3)＝g(3)＋3＋4＝14；(2)解xx2－2得，x－1或x2，解x≥x2－2得，－1≤x≤2.所以f(x)＝x2＋x＋2，x－1或x2，x2－x－2，－1≤x≤2，所以当x－1或x2时，f(x)＝x＋122＋74f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，f(x)＝x－122－94∈f12，f2＝－94，0，所以综上，函数f(x)的值域是－94，0∪(2，＋∞)．专题三函数的图像及应用函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像的正确画出．[例3]设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的值域．【解析】(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，∴f(x)是偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当－3≤x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.即f(x)＝x－12－2，0≤x≤3，x＋12－2，－3≤x0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图所示．函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，(－1,0]，(0,1]，(1,3]．f(x)在区间[－3，－1]，(0,1]上为减函数，在(－1,0]，(1,3]上为增函数．(3)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；当－3≤x0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．方法归纳,(1)f(x)为偶函数，为作出函数的图象提供了方便，当然可利用绝对值定义，分区间讨论，去掉绝对值符号．(2)函数的图象是函数性质的直观反映，观察图象的变化趋势揭示函数的单调性和最值，体现数形结合的思想．能力挑战3作出函数y＝G(x)＝x|x－2|，x∈R的图像，利用图像分别求G(x)＝1，G(x)≥1的解集．【解析】G(x)＝x|x－2|＝x2－2x，x≥22x－x2，x2＝x－12－1，x≥2，－x－12＋1，x2.利用描点法作出图像，如右图所示．在图像上作出y＝1.可知：当x＝1，或x＝1＋2时，G(x)＝1；当x≥1＋2时，G(x)≥1.∴G(x)＝1的解集为{x|x＝1或x＝1＋2}，G(x)≥1的解集为{x|x≥1＋2或x＝1}．专题四函数的奇偶性与单调性及应用函数的单调性与奇偶性都是函数的重要性质，是高考的重点内容之一，主要考查利用定义判断函数的单调性、奇偶性，利用函数的单调性与奇偶性之间的关系解决比较大小、求值或求最值、解方程(组)等方面的问题．高考题型有选择题、填空题，也有解答题，既有容易题与中等题，也有综合性的难题．[例4]已知函数f(x)＝mx2＋23x＋n是奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数m和n的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．【解析】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴mx2＋2－3x＋n＝－mx2＋23x＋n＝mx2＋2－3x－n.比较得n＝－n，n＝0.又f(2)＝53，∴4m＋26＝53，解得m＝2.即实数m和n的值分别是2和0.(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．证明如下：由(1)可知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x.设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.当x1x2≤－1时，x1－x20，x1x20，x1x2－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数．当－1x1x20时，x1－x20，x1x20，x1x2－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(－1,0)上为减函数．方法归纳,函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调