工程力学-材料力学-第12章动量矩定理(华蕊)

第12章动量矩定理本章重点：质点系动量矩的概念及计算，转动惯量的概念，质点系相对于固定点的动量矩定理，刚体绕定轴转动微分方程及其应用。1．质点和质点系的动量矩(角动量)质点Q对点O的动量矩的定义()OLmvrmv§12-1质点和刚体的动量矩[()]()OzzLmvLmv单位：kg·m2/s质点对z轴的动量矩是质点的动量在Oxy平面的投影(mv)xy对O点的矩。()zLmv()zLmv是代数量，从z轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。质点的动量对坐标轴的矩1()nOOiiiLLmv1()nzziiiLLmv对点的动量矩对轴的动量矩OxyzLLiLjLk即质点系的动量矩(1)刚体平移的动量矩可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。OCCLrmv2.刚体的动量矩()zziiiiiLLmvmvr2iiiiimrrmr2ziiJmrzzLJ(2)刚体绕定轴转动的动量矩转动惯量单位：kg·m2转动惯量是刚体转动时惯性的度量。质量是刚体移动时惯性的度量。2.刚体的动量矩教材P213表12－1列出了简单均质物体的转动惯量1)回转半径（惯性半径）的概念zzJm2zzJm或3.刚体对轴的转动惯量2ziiJmr转动惯量2zzCJJmd2)平行轴定理式中：zC轴为过质心且与z轴平行的轴，d为z轴与zC轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。3.刚体对轴的转动惯量杆OA由铰链O与地面连接，它对轴O的转动惯量为JO；一高为h、质量为m1的均质矩形板沿轴x以速度v平移，并推动杆OA绕轴O转动；一质量为m2的质点E以相对速度vr在板上运动。试求系统运动到图示位置时对轴O（轴z）的动量矩。例12-1解：1、LZ(OA)zzLJ4evvOCh()4OzOAzJvLJh2、LZ(板)zZLmvr1()2zhLmv板用点的合成运动求ωavrvevsin2eavvvC例12-1续3、LZ(E)arvvv()2zaLhmvE2()rhmvv12r()42zOAEOLLLLJuhmuhmvuh板结果：例12-1续钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量都为m，圆盘半径R，杆长3R，求摆对通过悬挂点O并垂直于图面的z轴的转动惯量。例12-23RC1C2ROzzzJJJ杆盘解：22211(3)333zJmlmRmR杆查表得：2212CzJmR根据平行轴定理22222133()1622CzzJJmRlmRmRmR盘2392zzzJJJmR杆盘()()OLmvrmvttdddd()rmvrmvttdddd1．质点的动量矩定理设O为定点，有：0vmv()mvFtdd其中：rvtdd(O为定点)()()OOLmvMFtdd§12-2动量矩定理()()xxLmvMFtdd()()yyLmvMFtdd()()zzLmvMFtdd投影式：()()OOLmvMFtdd因此称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。质点的动量矩定理()()OOiiOiiLLmvLmvtttdddddd()()eOOiLMFtdd得()()()()()ieOiiOiOiLmvMFMFtdd()()()()()ieOiiOiOiLmvMFMFtdd由于()()0iOiMF对第i个质点有：对n个质点有：2.质点系的动量矩定理()()exxiLMFtdd()()yeyiLMFtdd投影式：()()ezziLMFtdd注意：内力不能改变质点系的动量矩。()()eOOiLMFtdd称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于同一点之矩的矢量和。2.质点系的动量矩定理()2eOMFrmgR已知：m1，r，k，m2，R，2122,2,,2OJmrRrmmmm2OLmvR解：vR2,aRtdd选系统为研究对象,受力分析如图例12-3求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2。设塔轮该瞬时的角速度为ω，则OJ210OLmr4ksrmgr(e)1ddniit()OOL=MF245mgksam=解得：若，则常矢量；()()0eOMFOL若，则常量。()()0ezMFzL3．动量矩守恒定律12,,,nFFF主动力：12,NNFF约束力：()()()izzizNJMFMFtdd()ziMF()zziJMFtdd即：()zzJMF或22()zzJMFtdd或maF与相似§12-3刚体绕定轴转动的微分方程已知：，求。12,,,RJFF12()JFFR12()FFRJ解：由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略J时，F1、F2才相等。例12-5已知：，求：1.ω；2.Mf012,,,JJt解：因为系统外力对z轴的矩为零，故系统对z轴动量矩守恒。例12-61.选系统为研究对象1012()JJJ=1012()JJJ=2.选轮2为研究对象2ddfJMt=积分20ddtfJMt0=12012()fJJMJJt=1．对质心的动量矩CCiiriiirLMmvrmv由于iCirvvvCiiiiiCLrmvrmv得()iiCiiCrmvmrv其中如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。质点系相对质心C为的动量矩为：iiiCmrmr0Cr而CiiiLrmv§12-4质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是以绝对速度计算，其结果都相同。OiiiLrmvCiiiiirmvrmv,iiCiiiCmvmvrmvLOCCCLrmvLOCCLmvL质点系对任一点O的动量矩：Ciiirrmv质点系相对于任意定点的动量矩OCCCLrmvLOCCLmvL结论质点系对任一点O的动量矩等于集中于系统质心的动量对O点的动量矩，与质点系相对于质心动量矩的矢量和。Cmv质点系相对于任意定点的动量矩eOCCCiiLrmvLrFttdddd'(1)eeCiiirFrF,0,CCCCrrvmvttdddd由于CCCCCrLmvrmvtttdddddd即eCCCirmvrFtdd'eCiiLrFtdd(1)式得2相对质心的动量矩定理'eCiiLrFtdd()eCCiLMFtdd或质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。该定理在形式上与质点系相对于固定点的动量矩定理完全一样。提示质点系相对于质心的动量矩定理()eCeCCmaFJMF2222()eCeCCrmFtJMFtdddd或刚体的平面运动选质心为基点，可分为随质心的平移和相对质心的转动，则刚体平面运动微分方程是质心运动定理和相对于质心的动量矩定理。§12-5刚体的平面运动微分方程()eCxxeCyyeCCmaFmaFJMF以上各组均称为刚体平面运动微分方程。()etCtenCneCCmaFmaFJMF应用时一般用投影式：刚体的平面运动微分方程例12-8已知：l，m，θ=60°。求：1.αAB；2.FA解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运动，受力如图，根据平面运动微分方程AθBDC0CxmaCyAmaFmgcos602CAlJF补充运动学方程AθBCaAaAaCyaCAtαtnCACACAaaaa在y轴方向投影tcos4CyCAlaa124,77AgFmgl例12-9已知：如图r，m，m1。求：1.aA；2.FAB；3.FS2解：分别以A、B、C为研究对象BAOCCCFNCF1mgFS1BCFAFxFmgyFAOAFFS2mgNAF例12-9续（1）其中CCFNCF1mgFS1BCFAFxFmgyFS11CFFmaS11Fmgf1()CFmagf()ACBFFrJ根据定轴转动微分方程212BJmr其中12ACFFmr（2）例12-9续（3）整理得AOAFFS2mgNAFar根据平面运动微分方程212OJmr其中（4）S2S2sinAOmamgFFJFrS2S2sin12AmamgFFmrF运动学补充方程（5）例12-9续解联立方程，得11sin2mgmgfamm1111sin1()22AmgmgfFmmmgfmm1S21sin2(2)mgmgfFmmm