工程力学A单辉祖-第13章(应力状态分析)

工程力学AEngineeringMechanicsA主讲教师：李荣涛建筑工程学院CollegeofCivilEngineeringandArchitecture§13-1引言§13-2平面应力状态应力分析§13-3极值应力与主应力§13-4复杂应力状态的最大应力§13-5广义胡克定律第十三章应力状态分析本章主要研究：应力状态应力分析的基本理论应力、应变间的一般关系NmaxmaxAF＝•拉压杆强度条件：强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。maxpmaxTW•圆轴强度条件：•梁的强度条件：][maxmaxzWM][maxmax,maxzzSISF建立强度条件的依据？一、强度条件回顾§13-1引言危险点处的应力状态！单向应力状态纯剪切应力状态单向应力状态纯剪切应力状态FFTA微体A采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？螺旋桨轴:§13-1引言c,d点处:单向应力；a点处:纯剪切；b点处:,联合作用复杂应力状态下（一般情况下），如何建立强度条件？分别满足?做实验找破坏时的组合形式？工作量与难度?yzC,maxC1max,maxtdabcymax11O11,maxt,maxCdmaxabc工字梁bcad•应力状态•微（元）体、单元体围绕所研究点取无限小微六面体建立复杂应力状态强度条件的研究思路：材料物质点应力状态·应力微体材料失效机理强度条件xyzyxxxyy微元体A构件受力后，通过其内一点在不同方向面上应力的集合，称之为该点的应力状态。(1)微体的尺寸无限小，边长为1；(2)每个面上应力均匀分布；(3)对面上应力相等。选取原则：面上应力已知或可求平面（二向）应力状态xyxyyx三向（空间）应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz§13-1引言xyxyxxyyx单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态(ShearingStateofStresses)三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例§13-1引言xyzyxxxyy微体仅有四个面作用有应力；应力作用线均平行于不受力表面；•平面应力状态xyz已知x,y,x,y求任意平行于z轴的斜截面上的应力•平面应力状态的应力分析微体有一对平行表面不受力的应力状态。§13-2平面应力状态应力分析xxyyxxyyαα一、平面应力状态斜截面应力§13-2平面应力状态应力分析正负号规定：拉为正；压为负τ：使微元体顺时针转动为正（与剪力Fs规定相同）α：从坐标轴x正向逆时针旋转至斜截面法线方向为正τx=−τyn0:Fd(dcos)sin(dcos)cosxxAAA(dsin)cos(dsin)sin0yyAA0:Fd(dcos)cos(dcos)sinxxAAA(dsin)cos(dsin)sin0yxAA§13-2平面应力状态应力分析平面应力状态下任意斜截面上应力表达式cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx§13-2平面应力状态应力分析sin2cos222xyxyxcos2sin22xyx上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。斜截面上的应力公式解析法§13-2平面应力状态应力分析sin2cos222xyxyxcos2sin22xyx斜截面上的应力公式sin2cos222xyxyxcos2sin220xyx二、应力圆（图解法）§13-2平面应力状态应力分析2222()()22xyxyx2222()()22xyxyx—坐标系下的圆方程圆心坐标：半径：02xy（，）22()2xyxRo(x+y)/2R结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆——应力圆§13-2平面应力状态应力分析o(x+y)/2R绘制方法1：为半径作圆22()2xyxR为圆心，02xy（，）以缺点：•需用解析法计算圆心坐标和半径•没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系三、应力圆的绘制§13-2平面应力状态应力分析OcD(x,x)yyBE(y,x)建立坐标系找两点确定圆心和半径xyyxxxyy三、应力圆的绘制§13-2平面应力状态应力分析绘制方法2（重点）σ−τ(,)(,)、xxyyDEoDExxyyC(x+y)/2F(x-y)/2xyyyxx•证明分析§13-2平面应力状态应力分析(,)xx(,)yy22()2xyxR(,0)2xyC•点面对应：微体截面上的正应力和切应力与应力圆点的坐标值一一对应。四、应力圆与微体对应关系§13-2平面应力状态应力分析yyxxyyxxyyxxOcD(x,x)E(y,x)H(,)•夹角2倍、转向一致：四、应力圆与微体对应关系§13-2平面应力状态应力分析yyxxyyxxyyxxcD(x,x)E(y,x)H(,)•夹角2倍：应力圆半径转过的角度是微体截面法线旋转角度的两倍。•转向一致：应力圆半径旋转方向与微体截面法线旋转方向一致。O2)2cos(20CHOCH22cos2sin2xyxyHxH同理：sin2sin2cos2cos200CDCDOCoxxDyyEC(x+y)/2H202H(,)HF(x-y)/2五、应力圆的应用§13-2平面应力状态应力分析xyyyxxnxyyyxxn计算斜截面上的应力•利用应力圆明晰的几何关系推导并记忆一些基本公式，避免死记硬背；•在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具；•解析法才是计算重点。§13-2平面应力状态应力分析五、应力圆的应用oxxDyyEC(x+y)/2H202H(,)HF(x-y)/2解：401003010030cos80(20)sin8091MPa22()4010030sin8020cos80=31MPa2sin2cos222xyxyxcos2sin22xyx例13-1求图示，100MPax30MPay20-MPax402010030单位：MPan40sin2cos222xyxyxcos2sin22xyx并画应力圆。2010030单位：MPan40建立坐标系找两点确定圆心和半径σ−τ(,)(,)、xxyyDEOcD(100,−20)E(30,20)H4040(,)80°画应力圆微体内最大与最小正应力？最大与最小切应力？微体内最大正应力与切应力方位？sin2cos222xyxyxcos2sin22xyx•斜截面应力公式一、平面应力状态的极值应力§13-3极值应力与主应力oxxDyyEC(x+y)/2H202H(,)HF(x-y)/2sin2cos222xyxyx法一：解析法一、平面应力状态的极值应力§13-3极值应力与主应力202sin2cos2xyx0dd当时，正应力有极值。yxx2tan20最大正应力方位角α0：cos2sin22xyx02222maxminxyxyx法一：解析法一、平面应力状态的极值应力§13-3极值应力与主应力202cos2sin2xyx0dd当时，切应力有极值。1021tan2tan2xyx最大切应力方位角α1：222maxminxyxcos2sin22xyx最大切应力方位角α1与最大正应力方位角α0差45°CKminmaxCAOCminmax2222xyxyx222xyx§13-3极值应力与主应力一、平面应力状态的极值应力法二：应力圆法正应力极值在A和B点：（应力圆与横轴交点）yxx2tan20最大正应力方位：（负号表示x截面至最大正应力所在截面为顺时针）最大切应力在K和M点（应力圆半径）：极值与极值所在截面，成夹角45•主平面——切应力为零的截面•主应力——主平面上的正应力•主应力符号与规定——231•主平面微体(主单元体)——三对互相垂直主平面构成的正六面体微体（按代数值排列）123二、主应力§13-3极值应力与主应力•主平面:•主应力：231平面应力状态二、主应力§13-3极值应力与主应力2222maxminxyxyx0另有yxx2tan20yxxxyy三、应力状态分类:•单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态•二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态•三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态思考：下列单元体属于哪种应力状态？平面应力状态和二向应力状态区别？二向应力状态单向应力状态复杂应力状态1C3Dminmax四、纯剪切状态的最大应力FFmax453145主平面微体位于方位45三、单向拉伸时的最大切应力§13-3极值应力与主应力应力圆与纵轴相切应力圆圆心在原点C0(,)A0(,)BD•低碳钢圆轴扭转时滑移与剪断发生在τmax的作用面：•铸铁圆轴扭转时断裂发生在σmax的作用面：例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：§13-3极值应力与主应力解：1.解析法MPa70xMPa50xMPa26102MPa963MPa96MPa265.62例13-2用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位0y2minmax22xyxyxyxmax0arctanyxx2tan20MPa26102MPa9635620.2.图解法−−画应力圆2b313acd2b131acd1232xyzxyz123三向应力圆一、三向应力圆§13-4复杂应力状态的最大应力三向应力状态21321---与主应力平行的斜截面上应力ABCoxzy123321---其它任意斜截面上的应力A与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内。§13-4复杂应力状态的最大应力一、三向应力圆三向应力圆41321max=1min=3max=(1-3)/2一点处的最大与最小正