2.线性微分方程解的结构

第四节二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解高阶线性微分方程的一般理论n阶线性方程的一般形式为.)()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn0)(阶齐线性微分方程；时，称为当nxf0)(阶非齐线性微分方程；时，称为当nxf),,2,1()(数方程；均为常数时，称为常系当nixpi),,2,1()(系数方程。不全为常数时，称为变当nixpi二阶线性微分方程的一般形式为)()()(。xfyxqyxpy:0)(时，方程称为齐次方程当xf0)()(。yxqyxpy通常称第二式为第一式的相对应的齐方程。注意：我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至n阶线性方程中。复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy这种解法叫常数变易法。1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构(1)叠加原理::)()(21是二阶齐线性微分方程和若xyxy的解(1).........0)()(yxqyxpy则它们的线性组合）的解，也是方程（1)()(2211xycxyc)(21。不一定相互独立为任意常数、其中cc)1()()()(2211中，得，代入方程证明：令xycxycxy))()()(())()((22112211xycxycxpxycxyc))()()((2211xycxycxq))()()(())()((22112211xycxycxpxycxyc))()()((2211xycxycxq))()()()()((1111xyxqxyxpxyc000))()()()()((2222xyxqxyxpxyc)1()()()(2211的解。为方程即xycxycxy(2).......0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn).,2,1()(阶齐线性微分方程是推广：若nnixyi的解，则它们的线性组合niiixycxy1)()(也是方程(2)的解。)(),,2,1(。不一定相互独立为任意常数其中nici问题:一定是通解吗？2211yCyCy例：设y1为(1)的解,则y2=2y1是方程(1)的解,但y=C1y1+C2y2不为方程(1)的通解.又如.对于二阶常系数线性齐次微分方程,02yy'y''容易验证:xxxyxye2)(,e)(21)()(2211xyCxyCy但这个解中只含有一个任意常数C,显然它不是所给方程的通解.由定理知都是它的解.xxeCeC212xeCC)2(21xCe也是它的解.在什么情况下，叠加所得可以成为方程(1)的通解？为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.(2)线性无关、线性相关)()(21上有定义。在区间、设函数Ixyxy21，使得和若存在不全为零的常数cc0)()(2211，Ixxycxyc)()(21上是线性相关的。在区间与则称函数Ixyxy)()(21上是线性无关的。在区间与否则称函数Ixyxy时，才有当且仅当021cc,0)()(2211，Ixxycxyc)()(21上线性无关。在区间与则Ixyxy定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.若存在不全为0的常数,,,,21nkkkIxxykxykxyknn,0)()()(2211在区间I上线性相关存在不全为0的.)()(21常数xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:(不妨设)01k)()(21上有定义。在区间、设函数Ixyxy)(),(21xyxy0)()(,221121xykxykkk使)(),(21xyxy)(),(21xyxy)(),(21xyxy若例1：在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;3.如：若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.1sincos.222线性相关的。在任何区间上均为与证明：例xx),(121时，有，则当证：取xcc01sincos)1(sincos222221，xxxcxc1sincos22线性相关的。在任何区间上均为与故xx,sin,cos,122xx0sincos122xx,,,12xx,02321xkxkk321,,kkk2,,1xx故sincos.4线性无关的。在任何一个区间上均为与证明：xxsincos全为零上线性相关，则存在不在某区间与证：若Ixx)0(221，使不妨设，的常数ccc,0sincos21，Ixxcxcc,tan21。即Ixccx由三角函数知识可知，这是不可能的，故sincos线性无关的。在任何一个区间上均为与xx(一)二阶齐线性微分方程解的结构)()(21是二阶齐线性方程、定理：若xyxy(1).......0)()(yxqyxpy的两个线性无关的特解，则)()()(2211xycxycxy是方程(1)的通解。例如,0yy,sin,cos21xyxy有解.sincos21为方程的通解xCxCy线性无关，常数且2112,,tanyyxyy推论：是n阶线性齐次微分方程的n个线性无关的特解,则方程的通解为：)(11为任意常数knnCyCyCy0)()()(1)1(1)(yxayxayxaynnnnnyyy,,,21若下面要用到的几个重要的结论（要记住）通过观察可得方程的一个特解：0)()(yxQyxPy,0)()()1(xxQxP若,0)()(1)2(xQxP若,0)()(1)3(xQxP若0)()()()4(，则方程若xqxpxh,0)()()(yxqyxpyxh)()(，即可得证。的特点：由函数xxxxeeee;是它的一个特解则xy;是它的一个特解则xey;是它的一个特解则xey;是它的一个特解则xey0)1(.1的通解。求方程例yyxyx01)1(，所以，解：因为xx是原方程的一个解。xey又容易看出：也是原方程的一个解。xy由叠加原理，原方程的通解为21。xeCxCy)()(21常数利用：xyxy)()(21线性无关、xyxy(1)0)()()(1的一个非零解。是方程已知yxqyxpyxy),()()()()(1212xCxyxyxyxy则线性无关的解：是方程的与若)()()(12，xyxcxy代入方程（1）中，得0)()())(2()())()((111111。xcyxcyxpyxcyxqyxpy(x)1是方程的解，故得因为y0)()())(2(111。xcyxcyxpy)(xc关键是求出怎么做？)(，则有令xcz0))(2(111。zyxpyzy关于z的一阶线性方程0)()()(1的一个解，是方程一般地：已知yxqyxpyxy?)()(21xyxy线性无关的解如何求出方程的一个与该问题的解决归功于数学家刘维尔。即0)(2111。zyyxpyz故有1)(d)(21d)(2111，xxpxyyxpyeyexcz两边积分，得d1)(d)(21，xeyxcxxp)(1线性无关的解则与xyd)()()()(21d)(112。xyexyxyxcxyxxp0)()(的通解为从而，方程yxqyxpy)()(2211。xyCxyCy这是关于z的一阶线性方程刘维尔公式0)()()(1的一个非零解，是方程若yxqyxpyxy,)(d)()(121d)(12线性无关的解是原方程的与则xyxyexyxyxxp.)()(2211为原方程的通解且xyCxyCy02.的通解。求方程例yyy，解：因为系数满足：0121由刘维尔公式d)()(2d)2(2，xxxxxexeeexy故原方程的通解为)(2121。xCCeexCeCyxxxe(x)x1y所以方程有一个解为：（二)二阶非齐线性微分方程解的结构是方程：若性质)(*1xy)2)........(()()(xfyxQyxPy)(1是其对应的齐次方程的一个特解，而xy0)()(yxQyxPy的一个通解，则是原方程的一个通解。)(*)(1xyxyy证将)(*)(1xyxyy代入方程（2）的左端得)*(''1yy)*()('1yyxP))()((1'''1yxQyxPy)(0)(xfxf)*()(1yyxQ)(*)(1xyxyy故是非齐次方程的解,)*)(*)(*(yxQyxPy又y中含有两个独立任意常数,因而是通解.)(*)(1xyxyy是对应齐次方程的n个线性无关特解,推广:给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解)(*xy)()()()1(1)(xfyxayxaynnn)(,),(),(21xyxyxyn设)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn例1：方程有特解,sincos21xCxCY对应齐次方程有通解：因此该方程的通解为xyy0yy.,,0,.2的通解求的一个特解为又的两个解为二阶线性齐次方程已知例xyyxyyxyyyeexx的通解，是0''21yyeCeCyxx,*xyxxCxCysincos21,,,0,线性无关又的两个解为二阶线性齐次方程解：xxxxeeyyeexxeCeCxy21原方程的通解为：..32的通解求例xyy,,,0,线性无关又的两个解为二阶线性齐次方程解：xxxxeeyyee的通解，是对应的齐次方程0''21yyeCeCyxx的一个特解，为方程（容易验证2''2*)2-xyyxy)2(221*xeCeCYyyxx故该方程的通解为：是二阶非齐次方程：与：若性质)()(221xyxy)()()(xfyxqyxpy的任意两个特解，则)()(21xyxyy是其对应的齐方程0)()(yxqyxpy的一个特解。证明：略则该方程的通解是().例4.设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意常数,;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,且二者线性无关(反证法可证)。由非齐线性微分方程解的结构定理可得（D）是正确的。例5.设是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用表示二阶线性非齐次方程的通解.321,,yyy321,,yyy1322313yyCyyCyy为：二阶非齐次方程的通解3231321,,yyyyyyy解是非齐次方程的无关的，解：都是对应齐次方程的解,且二者线性无关.(反证法可证)。例6.已知微分方程()()()yPxyQxyfx个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.1312yyyy