工程力学习题15 廖明成

习题解答第十五章能量法简介河南理工大学190*第十五章能量法简介习题15.1试计算图标结构的变形能。略去剪切影响，EI为已知。对于只受拉压变形的杆件，需要考虑拉压的变形能。解：（a）如图a所示，因结构和载荷均对此，所以利用静力学平衡条件，可很容易地得到约束反力2BCFFFF/2l/2lAx图a并且只取梁的一般进行计算。AB段梁任一截面上的弯矩方程为022FlMxxx梁的应变能为2222322004222296llFxdxMxdxFlVEIEIEI（b）如图b所示，利用静力学平衡条件，求的约束反力为13,88BCFqlFqlX/2l/2lqAX图bBC梁各段的弯矩方程为BA段02lx118Mxqlx习题解答第十五章能量法简介河南理工大学191AC段02lx223182Mxqlxqx应变能为221222002225220222113117288215360lllMxdxMxdxVEIEIqlqlxqlxqxdxEIEIXqAllX图c（c）如图c所示，各杆段的弯矩方程为AB段0xl2112MxqxBC段0xl2212Mxql刚架的应变能为2212002225220222111322220lllMxdxMxdxVEIEIqlqxqldxEIEI(d)如图d所示利用静力学平衡条件求得梁AC的支座反力和杆BD的轴力为3,22CNDBFFFF（拉）梁各段的弯矩方程为习题解答第十五章能量法简介河南理工大学192XXFAEAl/2l23l（d）CB段0xl112MxFxBA段02lx2MxFx结构的应变能为2221212002222223220022233824164llNBDllMxdxMxdxFlVEIEIEAFxdxFxdxFlFlFlEIEIEAEIEA(e)如图e所示利用静力学平衡条件，得刚架的支座反力和轴力为2,,xyMFlFFFF，AllFFBXX图eC刚架各段的弯矩方程为AB段0xl1MxFxBC段0xl2MxFlFx结构的应变能为2222223120000322222llllMxdxMxdxFlFxdxFxdxFlVEIEIEIEIEI习题解答第十五章能量法简介河南理工大学19315.2试用卡氏定理计算习题15-1中各结构中截面A的铅垂位移以及B截面（(e)图）的转角。F/2l/2lA图aXXBC解：(a)受力分析如下图所示，有分析可得在x方向是不受力，只受y方向的力FA1yF2yFaF由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力aF，这时求解共同作用下的支座反力，A受力分析如图所示，由平衡条件求得弯矩及对aF的偏导数为BA段2axMxFF2aMxxFAC段2axMxFF2aMxxF截面A的铅垂位移为3202222()248laylaxFFMxMxxFldxdxEIFEIEI（2）由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力aF，这时求解共同作用下的支座反力，A受力分析如图所示，由平衡条件求得弯矩及对aF的偏导数为A1yF2yFaFqBA段82aFqlMxx2aMxxF习题解答第十五章能量法简介河南理工大学194AC段2182222aaFqlllMxxFxqx22aMxxlF将以上结果代入202llylaaMxMxMxMxdxdxEIFEIF得截面A的铅垂位移为45()768yqlEI（3）由于在A处并无垂直集中外力，为此，设想在A处加一垂直外力aF，这时求解共同作用下的支座反力，A受力分析如图所示，由平衡条件求得弯矩及对aF的偏导数为XqAllX图caFBCAB段212aMxxFqxaMxxFBC段212aMxlFqlaMxlF将以上结果代入201lyiaMxMxdxEIF得截面A的铅垂位移为45()8yqlEI（4）题中受力分析如图所示，由平衡条件求得弯矩及对F的偏导数为AB段12MxFx12MxxFBC段MxFxMxxF习题解答第十五章能量法简介河南理工大学195XXFAEAl/2l23l（d）DCB同时求出BD轴力32NFF及偏导数为32NFF将以上结果代入201lNNyiaMxMxFlFdxEIFEAF得33()82yFlFlEIEA（5）1．题中受力分析如图所示，由平衡条件求得弯矩及对F的偏导数为AllFFBXX图eCAB段0xlMxFxMxxFBC段0xlMxFlFxMxlF将以上结果代入201lyiMxMxdxEIF得截面A的铅垂位移为311()6yFlEI2．由于在截面B处并无弯矩，设想在截面B处加一个弯矩，在杆件截面B上加了aM，如习题解答第十五章能量法简介河南理工大学196图所示，这时求共同作用下的支座反力，由平衡条件求得弯矩及对aM的偏导数为AllFFBXX图eCaMAB段0xlMxFx0aMxMBC段0xlaMxFlFxM1aMxM将以上结果代入201lBiMxMxdxEIF得20312laBFlFxMFldxEIEI即232BFlEI顺时针15.3图示桁架，在节点B处承受铅垂载荷F作用，试用卡氏定理计算点节B的水平位移。各杆各截面的抗拉刚度均为EA。F6060ABCa（a）aaaFABCD(b)习题解答第十五章能量法简介河南理工大学197题15-3图解：（a）由于在B处并无水平外力，为此，设想在B处加一水平外力aF，这时求解共同作用下的支座反力，B受力分析如图a所示，由平衡条件求得杆件内力及对aF的偏导数为FB（a）1F2FaFＢＣ杆件为133aFFF，133aFFＡＢ杆件为233aFFF，233aFFＡＣ杆件为3362aFFF，336aFF于是Ｂ的水平位移为3103333331212aNjjNjxjaFFlFaaFFFFEAFEAEA（２）由于在B处并无水平外力，为此，设想在B处加一水平外力aF，这时求解共同作用下的支座反力，B受力分析如图a所示，由平衡条件求得杆件内力及对aF的偏导数为（a）1F2FFBaFＡＢ杆件为1aFFF11aFFＢＣ杆件为22FF20aFFＣＤ杆件为3FF30aFF习题解答第十五章能量法简介河南理工大学198DA杆件为42aFFF42aFFＡＣ杆件为5aFFF51aFF于是Ｂ的水平位移为5101221212aNjjNjxjaFFlFFaFaEAFEAEA15.4图示圆截面轴，承受集度为m的均布力偶作用，试用卡氏定理的方法计算截面A的扭转角。设轴的抗扭刚度pGI为常数。Aml题15-4图解：由于在截面A处并无扭矩，设想在截面A处加一个扭矩aM，在杆件截面A上加了aM，如图a所示，这时求共同作用下的支座反力，由平衡条件可知杆件上的扭矩及偏导数为aTxMmx，1aTxM截面A的扭转角2002llaAapappplTxTxVMmxmmldxdxxdxMGIMGIGIGIAmlaM(a)因此截面A的扭转角为22ApmlGI15.5图示等截面刚架，承受集度为q的均布载荷作用，试用卡氏定理计算截面A的铅垂位习题解答第十五章能量法简介河南理工大学199移。设各段抗弯刚度EI和抗扭刚度pGI均为已知常数。AlaqAlaqaFaBCXX题15-5图解：由于在A处并无垂直外力，为此，设想在A处加一垂直外力aF，这时求解共同作用下的支座反力，A受力分析如图a所示，由平衡条件求得杆件内力及对aF的偏导数为AB段0xa，2111()2aMxFxqx，aMxxF；BC段0xl，aMxqaFx，aMxxF；22aqaTxaF，aTxaF；截面A的铅垂位移为2223004332122832yaaaplaalaappMxMxMxMxlaqadxdxaFEIFEIFGIFxqxqaFxqladxxdxEIEIGIqaqalqalEIEIGI15.6水平放置的一开口圆环上AB两点处作用有一对大小相等，方向相反的两个力。已知圆环的弹性常数,EG，以及环杆的直径d，试求A、B两点间的相对位移。习题解答第十五章能量法简介河南理工大学200FABRF题15-6图解：在外部荷载作用下圆环的弯矩和扭矩方程分别为sinMFR，(1cos)TFR在两外荷载方向上施加单位力，其弯矩和扭矩方程为sinMR(1cos)TR可得开口处A和B两点的相对铅垂位移为3300322()ABppMMTTFRFRRdRdEIGIEIGI15.7用卡氏定理计算图中C点处两侧截面的相对转角。各杆的抗弯刚度均为EI。F/2l/2lCFC1x2y1y2xcMcMyCFyCFxCFxCFAyAFxAFAMyBFxBFBM题15-7图解：在铰点Ｃ加一对大小相等，方向相反的力偶矩MC，分别作用于铰点Ｃ的两边如图22222211221122000022122222llllCCMMFFFFVydyydylFxdxlFxdxEIll点Ｃ两侧截面的相对角位移：12220112200221220222CllCMCVxxFlFlFxdxFxdxMEIll习题解答第十五章能量法简介河南理工大学20115.8图示各刚架，抗弯刚度EI为常数，试计算支反力。FlCBAlCBADq（a）(b)题15-8图解：（a）此刚架是一次超静定结构，所以需要解除一个多余约束，即把Ｃ处的支座换成滑动支座和代之以水平支反力XCF，如图所示，根据变形比较，C点处实际的水平位移为零，即0CuFlCBAXFXX用卡氏定理计算C点的水平位移：题中受力分析如图所示，由平衡条件求得弯矩及对XCF的偏导数为BC段xCMxFFxxCMxxFAB段xCMxFFxxCMxxF将以上结果代入201lxixCMxMxdxEIF得32001223llxCxCxixCMxMxFFxFFldxxdxEIFEIEI由题知0x习题解答第十五章能量法简介河南理工大学202即xCFF由平衡方程求出0AXAYCYFFF（b）此刚架是一次超静定结构，所以需要解除一个多余约束，即把D处的支座换成滑动支座和代之以水平支反力XF，如图所示，根据变形比较，D点处实际的水平位移为零，即0DullCBA