工程力学第二章

（3）平面汇交力系的合成与平衡1前课回顾1受力分析的步骤及注意事项2当研究对象为部分时，受力图一定要取分离体解除其全部约束，画出分离体的简图。1、确定研究对象取分离体，2、画出作用于分离体上的全部主动力。3、根据约束类型画约束力。4、受力图中要表示清楚每个力的作用位置、方位及指向、名称。同一个力在不同的受力图上表示要完全一致;不要运用力系的等效变换或力的可传性改变力的位置。5、受力图中只画研究对象的简图和所受的全部力，不画已解除的约束。（3）平面汇交力系的合成与平衡2第二章平面汇交力系§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法（3）平面汇交力系的合成与平衡31.平面汇交力系合成与平衡的几何法2.平面汇交力系合成与平衡的解析法(3)内容提要（3）平面汇交力系的合成与平衡4平面汇交力系的合成与平衡的几何法平面汇交力系——各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。一、合成的几何法——力多边形法则.（连续应用力三角形法则）F1F2F3F4求合力FR（3）平面汇交力系的合成与平衡5FR1FR2OF1F2F3F4FRF3dF2cF4eFR1=F1+F2FR2=FR1+F3=F1+F2+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4FRF3dF2cF4eabcde---力多边形ae---力多边形的封闭边力多边形法则F1abF1ab（3）平面汇交力系的合成与平衡6FiF1on个力的合力:F2F3FRFn（3）平面汇交力系的合成与平衡7汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。结论：即：合力矢等于各分力矢的矢量和。FFiR（3）平面汇交力系的合成与平衡8关于力多边形法则，注意以下几点:1、此方法仅适用于平面汇交力系的合成。2、利用此方法求合力时，若改变各分力的顺序，则力多边形的形状会发生改变，但合力的大小和方向不变。FRF3dF2cF1abF4eF1abF3dF2cF4eFR3、画力多边形时，各分力矢必须首尾相接，合力矢应与第一个力同起点，与最后一个力同终点。（3）平面汇交力系的合成与平衡9二、平衡的几何条件汇交力系平衡的必要和充分条件:汇交力系的合力等于零.1、平衡条件0FFiR（3）平面汇交力系的合成与平衡102、平衡的几何条件：力多边形自行封闭。平衡F1F2F3F4F1F2F3F4封闭力多边形（3）平面汇交力系的合成与平衡11平面汇交力系的合成与平衡的解析法Fxab(Fx为代数量)FxsincosFFFx一、1、力在坐标轴上的投影（3）平面汇交力系的合成与平衡12力在轴上的投影：nabababFFann.abFFnnabFFnn若a到b的指向与n轴正向一致，取正号；若a到b的指向与n轴正向相反，取负号。正负号的规定：ABFnBAF（3）平面汇交力系的合成与平衡13力在轴上的投影：cos.FFbn力在轴上的投影是代数量。nabABFnabBAF（3）平面汇交力系的合成与平衡14平面汇交力系的合成与平衡的解析法例：F1=F2=F3=F4=100N。求各力在x轴上的投影。F1300F2450F3F4XF1X=100sin30F2X=-100cos45F3X=0F4X=-100（3）平面汇交力系的合成与平衡15FxxyO2、力在直角坐标轴上的分力：力在平面直角坐标轴上的分力：FFxFyiFFxxFyijjFFyyjFiFFFyxyxF力F的解析式若已知投影Fx、Fy，则力F的大小和方向为：22yxFFF大小：FFcos;FFcosyx方向：（3）平面汇交力系的合成与平衡16xy3、投影与分力的比较：1）联系：在直角坐标轴上，二者大小相等，且投影的正负号与分力的指向对应一致；但在斜坐标系中，二者大小不等。xyFFxFy2）区别：投影是代数量，只有大小，没有方向；而分力是矢量，既有大小，又有方向；但力在平面上的投影是矢量。FxFyF（3）平面汇交力系的合成与平衡17平面汇交力系的合成与平衡的解析法二、合力投影定理FROF1F2FiFnxyz合力FR在坐标轴x，y，z上的投影分别为FRx，FRy，FRz（3）平面汇交力系的合成与平衡18FRxyzOF1F2FiFnFR=FRxi+FRyj+FRzkFi=Fxii+Fyij+FzikFR=FiFRxi+FRyj+FRzk=(Fxii+Fyij+Fzik)=(Fxi)i+(Fyi)j+(Fzi)k（3）平面汇交力系的合成与平衡19FRxi+FRyj+FRzk=(Fxii+Fyij+Fzik)=(Fxi)i+(Fyi)j+(Fzi)kFRx=FxFRy=FyFRz=Fz合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一个轴上投影的代数和。（3）平面汇交力系的合成与平衡20由合力的投影，可求出合力的大小和方向：平面汇交力系，在xoy坐标系，则：FRx=FxFRy=FyFR=FRx2+FRy2tanFRy/FRx=象限：由FRx、FRy的正、负定。三、合成表示合力与x轴所夹的锐角（3）平面汇交力系的合成与平衡210F0FRyRx、xyFRxyFR0F0FRyRx、0F0FRyRx、xyFR0F0FRyRx、xyFR（3）平面汇交力系的合成与平衡22四、平面汇交力系的平衡方程：Fx=0Fy=0（3）平面汇交力系的合成与平衡231.汇交力系的合成与平衡的几何法2.汇交力系的合成与平衡的解析法平面汇交力系的合成与平衡两种方法应用（3）平面汇交力系的合成与平衡24例2-1：F1=10KN，F2=20KN，F3=25KN。求：合力FR解：（解析法）=F1cos30+F2+F3cos60=41.16KNFxFRx=FRy=Fy=-F1sin30+F3sin60=16.65KN30oxyF1F2F360FRFR=FRx+FRy22=…=44.4KNtan=FRy/FRx=21.8（3）平面汇交力系的合成与平衡25(几何法):10KN1cm测量合力FR的大小和方向.F1F2F3FRFR=4.410=44KN30oxyF1F2F360FR=22（3）平面汇交力系的合成与平衡26求汇交力系平衡的步骤1、选研究对象（1）在所选的物体上应作用有已知力和待定未知力。（2）先选受力情况相对简单的物体，再选受力情况相对较为复杂的物体。2、取分离体，画受力图。3、选择合适的投影轴，应使尽可能多的未知力与投影轴垂直。4、建立静力平衡方程求解。（3）平面汇交力系的合成与平衡27例2-2:如图所示的平面刚架ABCD,自重不计.在B点作用一水平力P,设P=20kN.求支座A和D的约束力。PADBC2m4m（3）平面汇交力系的合成与平衡28解:取平面刚架ABCD为研究对象画受力图。PADBCFA平面刚架ABCD三点受力，C为汇交点.FDtan=0.5（3）平面汇交力系的合成与平衡29PADBCFAFDFx=0P+FAcos=0FA=-22.36kNFy=0FAsin+FD=0FD=10kN列平衡方程:（3）平面汇交力系的合成与平衡30例2-3:挂物架,W=20KN。求AB、AC杆的受力。ABCW30（3）平面汇交力系的合成与平衡31ABCW30解：（解析法）研究对象：销钉A。xyAWFBFc300（3）平面汇交力系的合成与平衡32xyAWFBFc300列平衡方程：Fy=0，-W-FCcos300=0FC=-W/cos300=…=-23.1KN（压力）Fx=0，-FB-Fcsin300=0FB=-Fcsin300=…=11.6KN（拉力）（3）平面汇交力系的合成与平衡33xyAWFBFc300（几何法）做封闭力多边形如图。WFBFcFC=W/cos300=23.1KN(压力）FB=Wtan300=11.6KN(拉力）（3）平面汇交力系的合成与平衡34FTBD300FAB150150FTBCFTBD=G300600150ABCDEEB例题2-4：井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量及钢索的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。解：1.取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：G（3）平面汇交力系的合成与平衡35300600150ABCDE300150150FTBDFTBCGFTBD=GFy=0Fx=0FAB=45kN-FTBCcos300-FTBDcos450+FABcos600=0EBFTBC=9.65kNFABxy-FTBCcos600-FTBDcos450+FABcos300-G=02、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：3、列平衡方程并求解：300（3）平面汇交力系的合成与平衡36300600150ABCDE300150150FTBDFTBCGFTBD=GxFy=0-FTBDsin150+FABsin300-Gsin600=0Fx=0FAB=45kN-FTBC-TBDcos150+FABcos300-Gcos600=0yEBFTBC=9.65kNFAB解二：（3）平面汇交力系的合成与平衡37例题2-5：用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重。求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。AB300600（3）平面汇交力系的合成与平衡38AGAFABFNA解：先取A轮为研究对象，受力分析：AB300600300300xyFx=0GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)（3）平面汇交力系的合成与平衡39AB300600AGAFABFNA300300xyBGBFBA取B轮为研究对象，受力分析：yxFNB600300（3）平面汇交力系的合成与平衡40AB300600AGAFABFNA300300xy取B轮为研究对象，受力分析：BGBFBAyxFNB600300Fy=0-GBcos300+FBAsin(α+300)=0(2)（3）平面汇交力系的合成与平衡41-GBcos300+FBAsin(α+300)=0(2)GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)FAB=FBA00tan(30)tan60BAGG（1）当GB=GA时，α=300（2）当α=00时，GB=GA/3（3）平面汇交力系的合成与平衡421.汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。FFiR3.汇交力系平衡的必要和充分条件:汇交力系的合力等于零。2.平衡的几何条件：力多边形自行封闭。总结（3）平面汇交力系的合成与平衡43总结4.力在坐标轴上的投影6.平面汇交力系的平衡方程（投影方程）：5.合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一个轴上投影的代数和。Fx=0Fy=0（3）平面汇交力系的合成与平衡44重点难点1平面汇交力系合成与平衡的几何法合成：汇交力系可以合成为一个合力，合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过汇交点。平衡：力多边形自行封闭。2平面汇交力系合成与平衡的解析法合成：合力投影定理。平衡：Fx=0Fy=0（3）平面汇交力系的合成与平衡45问题判断1.合力总是比分力大。2.已知力F的大小、与x轴的夹角及其指向，可以确定F在x轴上的投影。（3）平面汇交力系的合成与平衡46问题判断答案1.合力总是比分力大。（错）2.已知力F的大小、指向及其与x轴的夹角，可以确定F在x轴上的投影。（对）（3）平面汇交力系的合成与平衡47作业：P352-1；2-4；2-8（a）