二次根式的性质(例题+经典习题)

学习好资料欢迎下载二次根式的性质复习以前所学相关知识点：平方差公式：bababa22完全平方公式：22222222babababababa同底数幂的乘法法则：都是正整数nmaaanmnm,幂的乘方法则：都是正整数nmaamnnm,积的乘方法则：是正整数nbaabnnn规定：010aa；000；是正整数naaann,01二次根式2)(a的性质2a=a(a≥0)计算:(1)2)25(=____;(2)2)23(=_____;(3)2531=_______;(4)2)23(=_______;(5)2321=______;（6）2ba=_____.二次根式2a的性质2a=|a|=00aaaa1、计算:(1)25=___;(2)2)7(=____;(3)2)21(=______;(4)2(5)+（-5）2=______．二次根式积的性质ab=ba(a≥0,b≥0)1、(1)169196=__;(2)243=___;(3)49.001.0=______;(4)2253=______;2、下列运算正确的是（）A.2254=25-24=5-4=1B.(16)(25)=16×25=-4×（-5）=20C．22512()()1313=513+1213=1713D．247=24×7=47二次根式商的性质ba=ba(a≥0,b＞0)1、(1)259=________;(2)92=______;2、能使等式3aa=3aa成立的a的取值范围是__________.3、化简：(1)16125(2)343227学习好资料欢迎下载最简二次根式：①被开方数中不含分母。②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。例1：把下列各根式化为最简二次根式：00121253504722009614323bacbababa，）（）（，）（解：（）·，196166460032abaabaabab（）（）·，224750147504932527532753222710632512125121511002342242abcabbcabcbab练习：1、把227化成最简二次根式，结果为：()A．233B．29C．69D．392、下列根式中，最简二次根式为：()A．4xB．x24C．x4D．()x42同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式。例2：判断下列根式是否是同类根式：438532161531751；；）（分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解：（）；117525757是同类二次根式，，；438532161531757374749324343324385327431679166316153练习：1.若26m与234m是同类二次根式，则m=。2.最简二次根式5231yxyxyx与是同类根式，则x=____，y=_____学习好资料欢迎下载3.若a+b4b与3a＋b是同类二次根式，则a=____，b=_____。化简一、被开方数为单项式①当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.例1.化简：12.(分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3.)解：原式=22322323.【当堂练】：化简下列二次根式(1)40=(2)50=(3)200=（4）09=②当被开方数为分数时，应先进行★分母有理化.例2.化简：0.5.(分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，解：原式=21122222222.先将0.5化成12，然后再利用二次根式的性质进行化简.)【当堂练】：化简下列二次根式(1)0.001=(2)58=(3)2027=③当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.例3.化简：132.(分析：因为132是带分数，不能直接进行开方运算，解：原式=2772141422222.因此应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简.)【当堂练】：化简下列二次根式(1)211=(2)944=④当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()ma或2()ma·b的形式），然后再开方.例4.化简：3527xy.(分析：由于3527xy是一个单项式，因此应先将解：原式3527xy分解为22223()3xyy的形式=222223()333xyxyxyxy，然后再进行开方运算.)【当堂练】：化简下列二次根式(1)5106.3=(2)ba396(3)5106=（4）535.0ba=⑤当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.例5.化简：2512zxy.分析：由于2512zxy是一个分式，可根据分式的基本性质，解：原式=225315115123(6)6zyyzyzxyyxyxy将2512zxy的分子、分母同乘以3y，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算。学习好资料欢迎下载【当堂练】：化简：0012125432bacba，化简二、被开方数是多项式①当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.例1.化简：5243412xyxy.(分析：由于5243412xyxy是一个多项式，因此解：原式=4224(3)23xyxyxyxy应先将5243412xyxy分解因式后再开方，切莫直接各自开方得22223xyxxyy.)②当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.例2.化简：2211322.(分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，解：原式=49150524442一定不能直接各自开方得11322，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算.)【当堂练】(1)223045=(2)221026=(3)2282()()1515=③当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.例3.化简：2211ab.分析：由于被开方数是2211ab，是两个分解：原式=2222222222bababaababab.式的和的形式，因此需先通分后再化简.【当堂练】化简：2121xx（x＜0）把根号外的因式移至根号内：（1）52（2）a5（3）0mnm（4）0xyx（5）aa1分析：本题需逆用性质ab=ba（a≥0,b≥0)只能将根号外的正因式移至根号内。解：（1）52=2054。（2）a5=aa2525。（3）∵m≥0,∴nm=nmnm22。（4）∵0xyx∴yx=yx2=yx2。（5）∵a1成立，∴隐含a0,学习好资料欢迎下载∴aa1=aa12=aa12=a。★★分母有理化有两种方法：把分母中的根号化去，叫做分母有理化I.分母是单项式：babbbbabaII.分母是多项式：babababababa))((1(利用平方差公式）例、把下列各式的分母有理化：（）；（）；（）11232252323111101aaaaa解：（）（）112321232221462523252322322322151010（）311111111112aaaaaaaaaaaaaaa221111122练习：(1)503(2)3203xy（x＜0）(3)2)(25yxyx(x≥y0);