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同济高等数学附录Ⅱ重要平面曲线(1)三次抛物线(3)概率曲线(5)蔓叶线(7)星形线(9)心形线(11)对数螺线(13)伯努利双纽线(15)四叶玫瑰线(2)半立方抛物线(4)箕舌线(6)笛卡儿叶形线(8)摆线(12)阿基米德螺线(10)双曲螺线(14)三叶玫瑰线结束3xy=三次抛物线•拐点:(0,0)xyxy•关于原点对称32xy=•尖点:(0,0)•在尖点处与x轴相切•关于x轴对称半立方抛物线结束2xey-=概率曲线•拐点:),(121e±xyBA•拐点处切线斜率:e2m•渐近线:轴x•与x轴之间的面积:p•关于y轴对称设ξ服从标准正态分布,则其概率密度函数为2221)(xexf-=p•拐点:),1(1e±•与x轴之间的面积:1结束箕舌线taxtan=tay2cos=223axay+=或点击图中任意点动画开始或暂停•渐近线:y=0•曲线与渐近线之间的面积:2aSp=M是直径为a的圆上的动点,Q是射线OM与y=a的交点,QP⊥x轴,MP∥x轴P点轨迹即为箕舌线.•轨迹:ayoxtPMQ结束oxya蔓叶线221ttaax+=32)2(xxay=-或231ttaay+=M是半径为a的母圆上的动点,满足OM=PQ之点P的轨迹即为•渐近线:ax2=•曲线与渐近线之间的面积:23aSp=点击图片任意处播放开始或暂停•轨迹:)tan(q=tqMPQ蔓叶线结束q313tatx+=3213taty+=笛卡儿叶形线1-≠t参数的几何意义:qtan=t),()1,(42ppq--∈→--∞∈t图形在第四象限],(]0,1(43pqp∈→-∈t图形在第二象限),0[),0[2pq∈→∞+∈t图形在第一象限动画走向:－∞→－1－1→+∞结束点击图中任意点动画开始或暂停313tatx+=3213taty+=笛卡儿叶形线(续)1-≠t•结点:)0,0(O在该点与x轴y轴相切,曲率半径为a23•顶点:),(2323aaA•渐近线:0=++ayx•圈套所围面积:2231aS=•曲线与渐近线之间的面积:2232aS=oxya-a-qA结束tax3cos=tay3sin=323232ayx=+或4a星形线(内摆线的一种)•弧长:as6=•所围面积:283aSp=•轨迹:半径为半径为a的定圆滚动时,其上定点M的轨迹即为星形线的动圆圆周沿axoytM结束点击图片任意处播放开始或暂停摆线)sin(qq-=ax)cos1(q-=ay点击图中任意点动画开始或暂停半径为a的圆周沿直线Moyxqa无滑动地滚动时,其上定点M的轨迹即为摆线.•轨迹:结束Moyxta摆线(续)ap2•周期:aTp2=•极大点:),2,1()12(L=-=kakxkp•曲率半径:2sin4taR=•一拱长:a8•一拱面积:23aSp=•渐屈线:仍为摆线yoxapap2Mbao′坐标系下在bao′与原摆线一致)sin(qq-=ax)cos1(q-=ay结束1x心形线2222yxaxayx+=++或)cos1(q-=aroxyq•尖点:(0,0)•面积:223ap•弧长:a8•轨迹:外摆线的一种点击图中任意点动画开始或暂停动圆直径=定圆直径=a结束oxya心形线的另一种形式2222yxaxayx+=-+即)cos1(q+=arq•尖点:(0,0)•面积:223ap•弧长:a8点击图中任意点动画开始或暂停结束外摆线(圆外旋轮线)族tbtbaxbba+-+=coscos)(tbtbaybba+-+=sinsin)(定圆圆心为(0,0),半径为a,动圆半径为b,abm=m=1为心形线2=m3=m4=m23=m5=m点击图中任意点动画开始或暂停结束0a0a阿基米德螺线qar=•物理意义:动点M以常速v沿一射线运动,该射线又以定速w绕极点转动时,点M的轨迹即为阿基米德螺线结束qwvr=阿基米德螺线(续)•等距性:过极点的射线与曲线,,,,321LAAA交于ox1A2A3A1M2MM)1ln(arsh2qqq++=其中•弧长:)arsh1(22qqq++=aOML2)1(2232++=qqaR)(2221261qq-=aS•曲率半径::21的面积MOM•扇形结束它们之间的间隔都是ap2对数螺线qaer=xo的交角y都相等:a1tan=y(等角螺线)•等比性:过极点的射线与曲线交于LL,,,,101AAA-LL,,,,101OAOAOA-则各线段成等比级数,公比为pae2•弧长:)(121221rrLaaMM-=+•曲率半径:raR21+=rLaaOM21+=1M2MMy曲线与所有过极点的射线0A1-A1A2A动画走向为+∞→0:q•等角性:点击图中任意点动画开始或暂停结束oxya双曲螺线qar=1M•渐近点:2M极点O)(±∞→q•渐近线:ay=•曲率半径:()312qqq+=aR•扇形：的面积21MOM()212112qq-=aS•曲线由两支组成,它们关于y轴对称动画走向为+∞→+0:q点击图中任意点动画开始或暂停结束伯努利双纽线q2cos22ar=或)()(222222yxayx-=+点击图中任意点动画开始或暂停•结点(同拐点):)0,0(O在该点的切线斜率为±1•顶点:)0,(,aBA±•极值点:a46±a42±•曲率半径:ra32•双纽面积:2a极值:对应点:DDCC′′,,,xyoqABCC′DD′结束伯努利双纽线的轨迹特点xyo1F2F221aOFOF==•双纽线上的点M满足:22121aMFMF=⋅•以1F为圆心,a21为半径作圆,自O作射线交圆于P,Q则双纽线右支上的点满足:PQOM=MQP由对称性,左支也有类似结果结束q2sin22ar=伯努利双纽线点击图中任意点动画开始或暂停•结点(同拐点):)0,0(O在该点的切线为x,y轴•顶点:),(,2222aaBA±±•极值点:44108ay±=•曲率半径:ra32•双纽面积:2a4412ax±=极值:yxayx22222)(=+即对应点:DC,aqABCD结束]2,0[,3cospqq∈=ar]2,0[,3sinpqq∈=ar三叶玫瑰线qaa点击图中任意点动画开始或暂停q结束]2,0[,4cospqq∈=ar]2,0[,4sinpqq∈=arqqaa四叶玫瑰线点击图中任意点动画开始或暂停结束