高中数学立体几何常考证明题汇总

立体几何选择题：一、三视图考点透视：①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题）.②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积.③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题.1.一空间几何体的三视图如图2所示,该几何体的体积为85123，则正视图中x的值为（）A.5B.4C.3D.22.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(D)3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是4．4.某四棱锥的三视图如图1－1所示，该四棱锥的表面积是(B)A．32B．16＋162C．48D．16＋322二、直观图掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变；②平行于y轴的长度为原来的一半，x轴不变；③新坐标轴夹角为45°或135°。1、利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（）A．正三角形的直观图仍然是正三角形．B．平行四边形的直观图一定是平行四边形．C．正方形的直观图是正方形．D．圆的直观图是圆2、如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝2，C1D1＝3，A1D1＝1，则梯形ABCD的面积是()A．10B．5C．52D．102三、表面积和体积不要求记忆，但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积”。（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积，球的表面积公式。（2）柱、锥、台体，球体的体积公式。（3）正方体的内切球和外接球：内切球半径？外接球直径？（4）扇形的面积公式21122Slrr弧长公式lr1、一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的表面积为（）A．845B．14415C．36D．24正视图左视图俯视图图4图2侧视图俯视图正视图4x33x42、若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”。已知某黄金圆锥的侧面积为，则这个圆锥的高为________13、将圆心角为0120，面积为3的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为_________.4、若一个球的体积是43，则它的表面积为_________.四、点、线、面的位置关系1、下列四个命题中假命题的个数是（）A①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。②两条直线没有公共点，则这两条直线平行。③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。④//,,//abab。A．4B.3C.2D.12、阅读以下命题：①
如果ba,是两条直线，且ba//，那么a平行于经过b的所有平面.②
如果直线a和平面满足//a，那么a与内的任意直线平行.③
如果直线ba,和平面满足//,//ba，那么ba//.④如果直线ba,和平面满足baba,//,//，那么//b.⑤如果平面⊥平面γ，平面⊥平面γ，l，那么l⊥平面γ.请将所有正确命题的编号写在横线上4,5.3、设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题正确的是（）（A）若,,//mnmn，则//B）若//,//,//mn，则//mn（C）若,//,//mn，则mn（D）若//,//,//mnmn，则//立体几何常考证明题：1、已知四边形ABCD是空间四边形，,,,EFGH分别是边,,,ABBCCDDA的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。2、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;AHGFEDCB（2）平面CDE平面ABC。考点：线面垂直，面面垂直的判定3、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，求证：1//AC平面BDE。考点：线面平行的判定4、已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１)C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定A1ED1C1B1DCBAAEDBCSDCBAD1ODBAC1B1A1CNMPCBA6、正方体''''ABCDABCD中，求证：（1）''ACBDDB平面；（2）''BDACB平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、如图P是ABC所在平面外一点，,PAPBCB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，3ANNB（1）求证：MNAB；（2）当90APB，24ABBC时，求MN的长。考点：三垂线定理A1AB1BC1CD1DGEF9、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）10、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.（1）求证：1//AC平面BDE；（2）求证：平面1AAC平面BDE.考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定11、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小．考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图1,在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直（设棱长为a）1.证明：在ABD中，∵,EH分别是,ABAD的中点∴1//,2EHBDEHBD同理，1//,2FGBDFGBD∴//,EHFGEHFG∴四边形EFGH是平行四边形。(2)90°30°2.证明：（1）BCACCEABAEBE同理，ADBDDEABAEBE又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC3.证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为1AA的中点，O为AC的中点∴EO为三角形1AAC的中位线∴1//EOAC又EO在平面BDE内，1AC在平面BDE外∴1//AC平面BDE。4.证明：90ACB∵°BCAC又SA面ABCSABCBC面SACBCAD又,SCADSCBCCAD面SBC5.证明：（1）连结11AC，设11111ACBDO，连结1AO∵1111ABCDABCD是正方体11AACC是平行四边形∴A1C1∥AC且11ACAC又1,OO分别是11,ACAC的中点，∴O1C1∥AO且11OCAO11AOCO是平行四边形111,COAOAO∥面11ABD，1CO面11ABD∴C1O∥面11ABD（2）1CC面1111ABCD11!CCBD又1111ACBD∵，1111BDACC面111ACBD即同理可证11ACAD，又1111DBADD1AC面11ABD6.无答案7.证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．8.证明：（1）取PA的中点Q，连结,MQNQ，∵M是PB的中点，∴//MQBC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，∵,PAPB∴PDAB，又3ANNB，∴BNND[来源:学§科§网]∴//QNPD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB（2）∵90APB，,PAPB∴122PDAB，∴1QN，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且112MQBC，∴2MN9.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG∵1DGEB四边形1DGBE为平行四边形，1DE∥GB又1DE平面BDG，GB平面BDG1DE∥平面BDG1EFDEE，平面1DEF∥平面BDG10.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是1AA、AC的中点，1AC∥EO又1AC平面BDE，EO平面BDE，1AC∥平面BDE（2）∵1AA平面ABCD，BD平面ABCD，1AABD又BDAC，1ACAAA，BD平面1AAC，BD平面BDE，平面BDE平面1AAC11.证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB又BGAD，AD∥BC，BGBCPBG为二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PGBG，045PBG12.证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC∴DB⊥1AO．设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM．∵OM∩DB=O，∴1AO⊥平面MBD．.