极坐标与参数方程基本题型：四种基本题型

扎实基础，提升不难极坐标与参数方程高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:rd个交点；相切，1:rd个交点；相交，2:rd用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BACByAxd，算出d，在与半径比较。题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BACByAxd第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：rddmax，rddmin相切、相交：rddmaxmin0d题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222drl，d是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式21ttl,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值：---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一扎实基础，提升不难例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.（解说：C1：相加-平方-化同-利用三角消元：移项sinαycosα3x这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边1y3x两道式子相加asinyαcos3x两边同时平方sinαycosα3x222222（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin即当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.xOy1C3cos()sinxy为参数x2Csin()2241C2CP1CQ2CPQP1C2213xy2C40xyP(3cos,sin)2C||PQP2C()d|3cossin4|()2|sin()2|32d2()6kkZ()d2P31(,)22扎实基础，提升不难（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为为参数）ttyytxx(sincos00若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0=t1＋t22；(2)|PM|=|t0|=t1＋t22；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|（5）0,0,4)(212121212212121ttttttttttttttPBPA当当（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,tt，则弦长12ltt；2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：02cbtat第三步：韦达定理：acttabtt2121,第四步：选择公式代入计算。扎实基础，提升不难例如：已知直线l：x＝5＋32t，y＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．解(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将x＝5＋32t，y＝3＋12t代入②式，得t2＋53t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（Ⅱ）依题意设A（），B（），∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，扎实基础，提升不难将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．（五）面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），∴|AB|==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），∴P点到直线l的距离为d==，∴dmin==2，则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4．