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10.2直线与曲面立体相交10.6复合相贯线——求相贯线第10章立体与立体相交10.4平面立体与曲面立体相交10.5曲面立体与曲面立体相交10.1概述10.3平面立体与平面立体相交两立体表面相交时，它们表面的交线称为相贯线。10.1概述立体与立体相交可分为三种情况：(1)两平面立体相交。(2)平面立体与曲面立体相交。(3)两曲面立体相交。1．相贯线的性质及形状•相贯线是两立体表面的共有线；也是相交两立体表面的分界线；相贯线上的点是两立体表面的共有点;•由于立体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的线，一般为封闭的空间折线或空间曲线；•不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同--全贯和互贯。求相贯线实质上是求两立体表面一系列共有点，然后依次光滑连接，并判可性。一般地说这些共有点是一个立体的素线与另一立体表面的交点，也称为贯穿点。2．求相贯线的方法3．判别相贯线可见性的原则只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。10.2直线与曲面立体相交直线与立体相交，其交点称为贯穿点，是直线与立体的共有点和分界点，也是直线穿入和穿出点，体内部分不画线。直线与平面立体表面交点的求法，实际上是直线与平面交点的求法。1.利用积聚性求贯穿点当直线或立体表面的某投影具有积聚性时，则在具有积聚性的投影上，可得到贯穿点的第一个投影，再用面上或线上取点法，求作贯穿点的第二投影。[例1]求作直线与圆柱的贯穿点。a'b'ab(m')mnn'[例2]求垂直线AB，CD与圆锥的贯穿点。2.利用辅助平面法求贯穿点应该注意的是：在选择辅助平面时，应使辅助平面与曲面立体截交线的投影，为简单而易画的直线或纬圆。作图步骤：(1)包含已知直线作辅助面;(2)求出辅助平面与立体的截交线;(3)截交线与已知直线的交点即为所求的贯穿点。[例3]求直线AB与圆锥的贯穿点3.利用换面法求贯穿点*[例4]求一般位置直线AB与圆球的贯穿点。10.3平面立体与平面立体相交平面立体与平面立体相贯时，由于平面立体是由平面组成的，因此两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是A形体的一个侧面与B形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。相贯线实质就是平面与平面立体的截交线，整个相贯线是由封闭的若干段平面截交线组成的。[例4]两平面立体相贯，完成相贯线的投影1yyyy1444'233'2'1'32解题步骤1．分析相贯线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。[例5]两平面立体相贯，完成相贯线的投影12'3'1'32456解题步骤1．分析相贯线为左右两组折线；相贯线的正面投影已知，水平投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。4'5'6'[例6]两平面立体相贯，完成相贯线的投影解题步骤1．分析相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面投影未知，水平投影已知；相贯线的投影前后、左右对称。2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。2'1'1233'10.4平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相贯时，由于平面立体是由平面组成的，这些平面与曲面立体的相贯线实质就是平面与曲面立体的截交线，整个相贯线是由封闭的若干段平面截交线组成的，而每段连接交点就是平面立体棱线与曲面立体的贯穿点。因此求平面立体与曲面立体的相贯线，可归纳为求平面与曲面立体的截交线和直线与曲面立体贯穿点的问题。[例7]求三棱柱与圆锥的相贯线。[例8]平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影解题步骤1．分析相贯线为三段圆弧的组合;相贯线的水平投影已知，可利用表面取点法求共有点；2．求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ；3．求出若干个一般点Ⅷ、Ⅸ；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。THSHPH35QH123'9'8'6'7'1'2'4'5'46789[例9]平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影解题步骤1．分析相贯线为圆弧和双曲线的组合；相贯线的侧面投影已知，可利用表面取点法求共有点；2．求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ；3．求出一般点Ⅲ；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。10.5曲面立体与曲面立体相交两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有点。•相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。•不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。1.两回转体相交,交线为相贯线相贯线2.相贯线为二立体表面的公共线3.相贯线一般为封闭的空间曲线圆柱与圆锥相贯线为二立体表面公共线相贯线相贯线圆柱与圆柱封闭的空间曲线10.5.1两回转体相交一、曲面立体相贯线的性质图例二、曲面立体相贯的三种基本形式2．外表面与内表面相交；1．两外表面相交；3．两内表面相交。三、求曲面立体相贯线的方法1．表面取点法2．辅助平面法3．辅助球面法求曲面立体相贯线的方法有：四、求相贯线的一般步骤2．求作相贯线上的特殊点。3．根据需要求出若干个一般点。4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。5．整理轮廓线。特殊点分析:1.相贯线水平投影不用求2.相贯线侧面投影不用求作图:最前点1最后点2最低点最左点3最右点4最高点2.适当求一般点3.连线1׳2׳3׳4׳12341״2״1.求特殊点4״3״[例10]求二圆柱的相贯线1.利用积聚性的表面取点法•圆柱表面交线的三种情况两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交•两正交圆柱相贯线的变化趋势[例11]求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影a“(b“)a'b'c“abcdd(d')e“(f“)ef(e')(f')ghyyg“(h“)g'h'c'b'(f')其他形式的两圆柱相贯线•当相对位置发生变化时，两圆柱相贯线的变化趋势[例12]求作正面投影[例13]求作水平投影●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交线◆两外表面相贯◆一内表面和一外表面相贯★内形交线◆两内表面相贯[例14]求圆柱的相贯线*无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。小结：2、利用辅助平面法求相贯线辅助面的选用原则[例15]求圆柱与圆锥的相贯线yyPW1PV14yy4'PV2PW23PV3PW3511'12'22453'35'解题步骤1分析相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点；2求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ；4光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5整理轮廓线。用辅助平面求共有点示意图用水平面作为辅助平面求共有点圆柱与圆锥相贯线的变化趋势（一）圆柱与圆锥相贯线的变化趋势（二）圆柱与圆锥相贯线的变化趋势[例16]求圆球与圆锥的相贯线PW3PV3PV1yy55'3'4'3543112'1'22yy4解题步骤1．分析相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；2．求出相贯线上特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5．整理轮廓素线。3．求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ；PW2PV2用辅助平面求共有点示意图用水平面作为辅助平面求共有点[例17]求圆柱与半球相贯线的投影相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。求圆柱与半球的相贯线作图步骤：1）求特殊点：4’141”4”1’2）求一般点：PvPw2”6”26QvQw3”5”352’(6’)3）判断可见性，依次光滑连接各点：4）补画水平转向轮廓线。3’(5’)ⅣⅠ特殊情况下，相贯线为平面曲线或直线。相贯线为圆相贯线为直线10.5.2相贯线的特殊情况当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆特殊位置和形状的相贯线----等径正交两圆柱的相贯线特殊位置和形状的相贯线----轴线平行两圆柱的相贯线特殊位置和形状的相贯线----两圆锥共锥顶的相贯线特殊位置和形状的相贯线----两同轴回转体的相贯线相贯线为水平圆相贯线为水平圆相贯线为侧平圆10.6复合相贯线三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯，而形成的相贯线的总和称为复合相贯线。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。[例18]求作几何体复合相贯线的投影[例19]求几何体的复合相贯线[例19]求几何体的复合相贯线[例20]求三个圆柱的复合相贯线[例20]求三个圆柱的复合相贯线本章结束