三角函数竞赛训练

1第三讲:三角函数+向量近几年考题专练高中数学联赛决赛：试题结构：一试：时间：8:00-9:20满分：120分；1-8填空：每个8分共64分；9题16分，10-11各20分；共120分二试：时间：9:40-12:10满分：180分，共4个大题40+40+50+50，不等式+数论+组合数学+平面几何积化和差公式：（1）sincos；（2）cossin；（3）coscos；（4）sinsin；和差化积公式：（1）sinsin；（2）sinsin；（3）coscos；（4）coscos；3.三倍角公式：33sin33sin4sin,cos34cos3cos考题过手：一．高校自主招生考试1.（2016清华5）下列计算正确的是（）.Atan1tan61tan1213tan1tan61tan121.Btan1tan61tan1213tan1tan61tan121.Ctan1tan61tan1tan121tan61tan1213.Dtan1tan61tan1tan121tan61tan1213解：BD3tan1tan13tan61,tan12113tan113tan1，28tan1tan61tan12113tan1，22tan13tan61tan12113tan1，由此可证2.（2016清华）下列能够成唯一ABC的是.A.1a，2b，cZB.150A，sinsin2sinsinaAcCaCbBC.cossincoscos()cossin0ABCBCBCD.3a，1b，60A【解析】A.2c，正确；B.正弦定理，余弦定理，135B，错误；C.cossin()0ABC，60C，所以为直角或等边三角形，错误；2D.显然成立，30B，正确.3.（2016清华33）sinsinsincoscoscosABCABC为ABCV为锐角形的（）..A充要非必要条件.B必要非充分条件.C充分必要条件.D既不充分也不必要条件【解析】B.必要性：由于sinsinsinsin()sincos12BCBBBB，类似的有sinsin1AC,sinsin1AB，sinsinsinsin()sin()sin()ABCBCCAAB(sinsin)coscoscoscoscycBCAABC.不充分性：当2A，4BC时，不等式成立，而ABCV并非锐角三角形.4.(2006复旦大学2)．函数sincos02yxxx的值域是.5.(2007复旦大学10)函数y＝1sin2cosxx的最大值是.6.（2005上海交大）设8841sincos,0,1282xxx,则x=.7．设(0,)2x，则函数(222211sin)(cos)sincosxxxx的最小值是__________．8.（）2010北约1）（仅文科做）02，求证：sintan．9、（2014华约联盟6）设1e，2e为平面上夹角为（02）的两个单位向量，O为平面上的一个固定点，P为平面上任意一点，当12OPxyee时，定义,xy为点P的斜坐标．现有两个点A，B的斜坐标分别为11,xy，22,xy．则A，B两点的距离为______________．10.（2014华约联盟9）设R，函数2sin2cos2cos2sin2cos2cosfxxxx，xR．（1）若,42，求fx在区间0,4上的最大值．（2）若3fx，求与x的值．311.（2014北约）求证：tan3Q12.（2010复旦）．求解：cos3xtan5x＝sin7x．二．全国高中数学联赛试题1.（2017全国高中数学联赛2）若实数x,y满足：22cos1xy，则cosxy的取值范围是[1,31]2.（2015全国高中数学联赛2）若实数满足costan,则41cossin的值为3.（2017全国高中数学联赛4）在ABC中，若sin2sin,AC且三条边a,b,c成等比数列，则cosA244.（2013全国高中数学联赛3）在ABC中，若sin10sinsin,cos10coscos,ABCABC则tanA11（两方程相减）5.（2012全国高中数学联赛2）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足3coscos5aBbAc，则tantanAB的值是____4_________.6.（2016全国高中数学联赛5）设函数44()sincos1010kxkxfx，其中k是一个正整数，若对任意的实数a,均有{()1}{()}fxaxafxxR,则k的最小值为167.（2012全国高中数学联赛7）满足11sin43n的所有正整数n的和是____33_______.由正弦函数的凸性,(0,)6x时,3sin,xxx131sin,sin,1313412124131sin,sin.1010399311sinsinsinsinsin.13412111039故满足11sin43n的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.8.（2011全国高中数学联赛4）如果)cos(sin7sincos3355，)2,0[，那么的取值范4围是．45,4.【解析】提示：不等式)cos(sin7sincos3355，5353cos71cossin71sin.又5371)(xxxf是),(上的增函数，所以cossin，故kkk(452429.（2010全国高中数学联赛2）已知函数2cos3sinyaxx的最小值为3，则实数a的取值范围是．1223a提示：令txsin，则原函数化为taattg)3()(2，求导；10．（2017全国高中数学联赛7）在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，3A，ABC面积为3，则AMAN的最小值为3111.（2015全国高中数学联赛4）在矩形ABCD中,2,1ABAD,边DC上(包括点,)DC的动点P与CB延长线上(包括点)B的动点Q满足||||DPBQ,则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为12.（2012全国高中数学联赛1）设P是函数2yxx（0x）的图像上任意一点，过点P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB的值是__________.13.（2012全国高中数学联赛9）（满分16分）函数131()sincos2,,022fxaxxaaRaa（1）若对任意xR，都有()0fx，求a的取值范围；（2）若2a，且存在xR，使得()0fx，求a的取值范围．