高一函数的奇偶性复习课教案

高一函数的奇偶性复习课教学目标：1、巩固偶函数和奇函数的定义；2、学会判断简单函数的奇偶性和利用函数奇偶性解决有关问题，进一步理解偶函数和奇函数的性质。教学重点：函数的奇偶性的判断和应用。教学难点：函数的奇偶性的应用。教学过程：一、知识回顾：1．偶函数定义;2．奇函数定义;3.奇偶性：如果函数()fx是奇函数或偶函数，那么就说函数()fx具有奇偶性.注：①函数()yfx是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所对应的区间关于原点对称;②若奇函数在原点处有定义，则有(0)0f;③若函数()yfx是偶函数，则对于定义域内的每个x，都有()()fxfx;④既是奇函数又是偶函数的函数是()0fx，xA,定义域A是关于原点对称的非空数集;⑤函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势.函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是函数的局部性质.4.奇函数、偶函数的图象的性质：一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y轴）对称.二、函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：1.定义法：定义域（关于原点对称）→验证()()fxfx或()()0fxfx或()1(()0)()fxfxfx→下结论.2.图像法：一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y轴）对称.3.性质法：两个奇函数的和为奇函数；两个偶函数的和为奇函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.注：以上函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上.练习1（1）已知()()fxgx、分别是[-10,10]上的奇函数和偶函数，则函数()()()Fxfxgx的图象关于________对称.（2）函数2()2fxaxbxab是定义在[1,2aa]上的偶函数，则ab_____.练习2判断下列各函数的奇偶性：（1）1()(1)1xfxxx（2）22(0)()(0)xxxfxxxx练习3函数2()1axbfxx是定义在（-1,1）上的奇函数，且12()25f，求函数()fx的解析式.三、函数奇偶性的应用函数的奇偶性的应用主要体现在以下几个方面：1.求函数值.例1已知32()8fxaxbxcx,且(2)10f，求(2)f.解：设32()gxaxbxcx，则()gx为奇函数.依题意可得(2)(2)810fg,则(2)18g.∴(2)(2)18gg∴(2)(2)818826fg.2.求解析式.例2已知()fx是定义在R上的奇函数,且当0x时,3()1fxx,求0x时,()fx的解析式.解：设0x，则0x.由已知0x时,3()1fxx,有33()11fxxx.又()fx为奇函数，∴()()fxfx,∴3()1fxx,∴3()1fxx.∴当0x时，3()1fxx.注：此类题型的解题步骤如下：①在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里;②利用()fx的奇偶性把()()fxfx或()fx；③将()fx中的x代入已知解析式中，从而解出()fx.3.解抽象函数不等式例3设()fx在R上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有22(21)(321)faafaa，求a的取值范围.解：由()fx在R上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增知()fx在区间（0，+∞）上递减.∵2217212()+048aaa，22123213()033aaa，且22(21)(321)faafaa，∴2221321aaaa，即230aa，解得03a.注：在此用到以下结论：①若函数()fx为奇函数，当()fx在区间[,ab]上是单调函数时，则()fx在区间[,ba]上也是单调的，且单调性相同；②若函数()fx为偶函数，当()fx在区间[,ab]上是单调函数时，则()fx在区间[,ba]上也是单调的，且单调性相反.4.函数的综合问题例4已知()fx是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f，若,ab[-1,1],0ab时，有()()0fafbab成立.(1)判断()fx在[-1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：11()()21fxfx；(3)若2()21fxmam对所有的a[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围.解：(1)任取12,[1,1]xx，且12xx，则2[1,1]x，由()fx为奇函数，有1212121212()()()()()()()()fxfxfxfxfxfxxxxx∵1212()()0()fxfxxx，120xx，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx.∴()fx在[-1,1]上单调递增.(2)∵()fx在[-1,1]上单调递增,∴11,21111,2111.1xxxx∴312x.(3)∵(1)1f,()fx在[-1,1]上单调递增,∴在[-1,1]上()1fx.问题转化为2211mam，即220mam对[1,1]a恒成立.设2()20gamam，若0m，则()00ga，自然对[1,1]a恒成立.若0m，则2()2gamam为a的一次函数,当0m时，若()0ga对[1,1]a恒成立，则必须(1)0g，解得2m；当0m时，若()0ga对[1,1]a恒成立，则必须(1)0g，解得2m.∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}.练习4已知定义域为R的奇函数()fx，求证：若在区间[,ab](0ba)上()fx有最大值M，那么()fx在区间[,ba]上必有最小值-M.练习5（1）已知()yfx是R上的奇函数，且0x时，2()2fxxx，求()yfx的解析式；（2）已知奇函数()fx有最大值7，试问它有无最小值？若有，求出最小值；练习6已知函数()fx是偶函数，其定义域为（-1,1），且在[0,1）上为增函数，若2(2)(4)0fafa，试求a的取值范围.