几何模型

 1 / 57 经典模型系列手册模型一：手拉手模型—全等 等边三角形条件：△OAB,△OCD均为等边三角形结论：①△OAC≌△OBD;②∠AEB△60(③OE平分∠AED（易忘） 2 / 57 等腰 RT△ 条件：△OAB,△OCD均为等腰直角三角形结论：①△OAC≌△OBD;②∠AEB=90°③OE平分∠AED（易忘） 3 / 57 任意等腰三角形 条件：△OAB,△OCD均为等腰三角形且∠AOB=∠COD结论：①△OAC≌△OBD;②∠AEB=∠AOB③OE平分∠AED（易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OA=OB，OC=OD②∠AOB=∠COD 4 / 57 模型二：手拉手模型—相似 条件：CD∥AB，将△OCD旋转至右图位置结论：右图△OCD∽△OAB⇔△OAC∽△OBD且延长AC交BD与点E必有∠BEC=∠BOA非常重要的结论，必须会熟练证明 5 / 57 手拉手相似（特殊情况） 当∠AOB=90°时，除△OCD∽△OAB⇔△OAC∽△OBD之外还会隐藏tanBDODOBOCDACOCOA===∠满足BD⊥AC,若连结AD、BC,则必有2222ADBCABCD+=+12ABCDSACBD=×（对角线互相垂直四边形） 6 / 57 模型三：对角互补模型 （全等型—90°）条件：①∠AOB=∠DCE=90°②OC平分∠AOB结论：①CD=CE；②2ODOEOC+=③212ODCEOCDOCESSSOC=+=辅助线之一：作垂直，证明△CDM≌△CEN条件：①∠AOB=∠DCE=90° 7 / 57 ②OC平分∠AOB结论：①CD=CE；②2ODOEOC+=③212ODCEOCDOCESSSOC=+=辅助线之二：过点C作CF⊥OC证明△ODC≌△FEC当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之一）①CD=CE不变②2OEODOC−=（重点）③212OCEOCDSSOC−=（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 8 / 57 当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①CD=CE不变②2OEODOC−=（重点）③212OCEOCDSSOC−=（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握细节变化：若将条件“OC平分∠AOB”与结论“CD=CE”互换条件：①∠AOB=∠DCE=90° 9 / 57 ②CD=CE结论：①OC平分∠AOB；②2ODOEOC+=③212ODCEOCDOCESSSOC=+=（全等型—120°）条件：①∠AOB=2∠DCE=120°②OC平分∠AOB结论：①CD=CE；②OD+OE=OC③234ODCEOCDOCESSSOC=+=请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明 10 / 57 辅助线之二：在OB上取一点F，使OF=OC证明△OCF为等边三角形（重要）结论：①CD=CE；②OD+OE=OC③234ODCEOCDOCESSSOC=+=必须熟练，自己独立完成证明当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点） 11 / 57 ③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握（全等型—任意角α）条件：①∠AOB=2α,∠DCE=180°-2α②CD=CE结论：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosα③2sincosODCEOCDOCESSSOCαα=+=难度较大，记得经常复习 12 / 57 当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握请思考初始条件的变化，对模型的影响 13 / 57 （对角互补模型--相似型） 如图，若将条件“OC平分∠AOB”去掉条件：①∠AOB=∠DCE=90°不变，∠COE=α，结论中三个条件又该如何变化？结论：①CE=CD·tanα；②(OD·tanα+OE)cosα=OC③221tantan2OCDOCESSOCαα+=证明：过点C作CF⊥OC，交OB于点F∵∠DCE=∠OCF=90° 14 / 57 ∴∠DCO=∠ECF∵∠AOB+∠DCE=180°∴∠CDO+∠CEO=180°∴∠CDO=∠CEF∴△CDO∽△CEFtanEFCECFDOCDCOα===（关键步）∴结论①得证∴EF=OD·tanα∵(OE+EF)·cosα=OC∴结论②得证∴22()tanCEFCDOSCFSCOα==∴2tanCEFCDOSSα=∵OCECEFOCFSSS+=且21tan2OCFSOCα=∴结论③得证难度非常大，请仔细认真复习对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线②初始条件：角平分线与两边相等的区别③常见两种辅助线的作法 15 / 57 ④注意下图中“OC平分∠AOB”∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB相等是如何推导 16 / 57 角含半角模型(90°) 条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°结论：①EF=DF+BE②△CEF周长为正方形ABCD周长一半也可以这样：条件：①正方形ABCD；②EF=DF+BE结论：①∠EAF=45°口诀：角含半角要旋转 17 / 57 角含半角模型(90°) 条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°结论：①EF=DF-BE辅助线： 18 / 57 角含半角模型(90°) 条件：①等腰直角△ABC；②∠DAE=45°结论：222BDCEDE+=若∠DAE旋转到△ABC外部时结论：222BDCEDE+=仍然成立 19 / 57 角含半角模型(90°)变形 条件：①∠EAF=45°;结论：△AHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°,∴∠DAH(∠CAE∵∠ADH=∠ACE=45°,∴△ADH∽△ACE∴DAACAHAE=∴△AHE∽△ADC 20 / 57 倍长中线类模型 条件：①矩形ABCD；②BD=BE③DF=EF结论：AF⊥CF模型提取：①有平行线AD∥BE②平行线间线段有中点DF=EF可以构造8字全等△ADF≌△HEF 21 / 57 倍长中线类模型 条件：①平行四边形；ABCD②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AD结论：∠EMD=3∠MEA辅助线:有平行AB∥CD，有中点AM=DM延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC,△MCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化 22 / 57 相似三角形 360度旋转模型（倍长中线法） 条件：①△ADE、△ABC均为等腰直角②EF=CF结论：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD证明△BDG为等腰直角突破点：△ABD≌△CBG难点：证明∠BAD=∠BCG 23 / 57 相似三角形 360度旋转模型（补全法） 条件：①△ADE、△ABC均为等腰直角②EF=CF结论：①DF=BF；②DF⊥BF辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EH 24 / 57 任意相似直角三角形 360度旋转模型 条件：①△OAB∽△ODC②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE结论：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA到点G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED 25 / 57 任意相似直角三角形 360度旋转模型（倍长法） 条件：①△OAB∽△ODC②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE结论：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，将△AMD∽△ABO继续转化为证明△ABM∽△AOD,使用两边成比且夹角等此处难点在证明∠ABM=∠AOD 26 / 57 最短路程模型之一（将军饮马类） 总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决特点：①动点在直线上；②起点，终点固定 27 / 57 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如右图①OC平分∠AOB②M为OB上一定点③P为OC上动点④Q为OB上动点求：MP+PQ最小时，P、Q的位置辅助线：将作Q关于OC对称点Q'，转化PQ'=PQ，过点M作MH⊥OAMP+PA=MP+PQ'≥MH（垂线段最短） 28 / 57 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，12BPAP+最短结论：以A为顶点作∠PAC=30°，过点P作PQ⊥AC，转化12PQAP=,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短） 29 / 57 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，22BPAP+最短结论：以A为顶点作∠PAC=45°，过点P作PQ⊥AC，转化12PQAP=,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求 30 / 57 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：A(0,4)、B(-2,0)，P(0,n)问题：n为何值时，55PBPA+值最小结论：①x上取点C(2,0)，使5sin5OAC∠=②过点B作BD⊥AC，交y轴于点E为所求③tan∠EBO=tan∠OAC=1/2，即E(0,1) 31 / 57 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：①线段OA=4,OB=2(OAOB)②OB绕点O在平面内360(旋转问题：AB的最大值，最小值分别为多少？结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”最大值：OA+OB；最小值：OA-OB 32 / 57 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：①线段OA=4,OB=2②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点问题：若PA的最大值为10，则OC=6若PA的最小值为1，则OC=3若PA的最小值为2，则PC的取值范围是0＜PC≤2 33 / 57 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：①Rt△OBC，∠OBC=30°②OC=2;③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；⑤△OBC绕点O旋转结论：PA最大值为123OAOB+=+PA最小值为1312OBOA−=−如右图,圆的最小半径为O到BC垂线段长 34 / 57 最短路程模型之四（动点在圆上） 条件：以点O为圆心三个圆，OA、OD固定OP绕点O旋转问题：点Q在什么位置时，EP+MB最小辅助线：连接DQ、QC，当Q、D、C三点共线时，EP+MB=DQ+QC=DC最小 35 / 57 最短路程模型之四（动点在圆上） 条件：①正方形ABCD且边长为4；②⊙B的半径为2；③P为⊙B上动点问题：求PD+(PC/2)最小值辅助线:过点E作EM∥PC，取BE中点N转化思路：将PC/2转化ME，将ME转化为MN，因此MD+MN的最小值为DN长度总结：PC/2的比值不是随意给出的，而是圆的半径r/BC 36 / 57 二倍角模型 条件：△ABC中，∠B=2∠C辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A'，连接AA'、BA'、CA'则BA'为∠ABC的角平分线，那么BA=AA'=CA'（注意这个结论）此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，但并不是唯一作法 37 / 57 相似三角形模型 （基本型）IHGFEDCBAGFEDCBAEDCBAEDCBAEFDCBAFEDCBAODCBAODCBAHEDCBAE