数学物理方法常微分方程的本征值问题

常微分方程的本征值问题1一、Sturm–Liouville型方程ddλ0ddykxqxyxyaxbxx它与一定的线性齐次边界条件或周期性条件或自然边界条件可以构成本征值问题，称为S-L型本征值问题。λ称为本征值x称为权函数常微分方程的本征值问题2二、几种常见的S-L型本征值问题1,0,1kxqxx1、而0,,00ablyyl①0,2π,2πabyxyx②两种情况下，求解S-L型本征值问题ddλ0ddykxqxyxyaxbxx常微分方程的本征值问题3ddλ0ddykxqxyxyaxbxxλ0000yyxlyyl0,,00ablyyl①1,0,1kxqxx本征值2πλnnl本征函数πsinnnyxl1,2,3,n常微分方程的本征值问题40,2π,2πabyxyx②ddλ0ddykxqxyxyaxbxxλ002π2πyyxyxyx1,0,1kxqxx本征函数sincosnnnyAnxBnx本征值2λnn0,1,2,3,n常微分方程的本征值问题5ddλ0ddykxqxyxyaxbxx2,,,λ1mkxxqxxxx2222dddd00ddddyymymxyxyxyxyxxxxxx2、Bessel方程的本征值问题22222dd0dd00yyxxxmyxxyMyR有限常微分方程的本征值问题63、Legendre方程的本征值问题22222dd1210dd11yymxxllyxxxyM有限值222dd110dd1ymxyllyxxx2221,,1,λ11mkxxqxxllxddλ0ddykxqxyxyaxbxx常微分方程的本征值问题7ddλ0ddykxqxyxyaxbxx22212ddeλe0dd,exxxyyxxxy长于的增不快于22e,0,exxkxqxx这个本征值问题来自量子力学中的谐振子问题4、Hermite方程的本征值问题2λ0yxyy常微分方程的本征值问题8ddλ0ddykxqxyxyaxbxx12ddeλe0dd0,,exxxyxyxxyxy长有限于的增不快于e,0,exxkxxqxx这个本征值问题来自量子力学中的氢原子问题5、Laguerre方程的本征值问题1λ0xyxyy常微分方程的本征值问题9三、正交函数系1、正交函数定义：如果两个函数满足12fxfx、12d0bafxfxx，则称它们在区间上正交,ab*12d0bafxfxx如果函数是复函数，则写为2、归一化定义：nyx由正交定义，对一本征函数系当时，d0bnmayxyxxnm22dbnnayxxN当时，nm常微分方程的本征值问题10122dbnnaNyxx称为归一化因子。22dd1bbnnnnaannyxyxyxxNxNNnnnyxxN令则有1dδ0bnmnmanmxxxnm称为正交归一函数系nx常微分方程的本征值问题11δnnnxxxx3、完备性条件4、完备性定义：在相应敬意上满足狄里赫利条件的任意函数可以用正交完备函数系展开成傅里叶级数，即：1nnnfxCxfxnC可用正交归一条件求得，即11ddδbbmnnmnnmmaannfxxxCxxxCCdbmmaCfxxx常微分方程的本征值问题12狄里赫利条件：在上只有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点。fx,ab四、S—L型本征值问题的性质ddλ0ddykxqxyxyaxbxx1、条件①及其导数在中连续；xkx、,ab②在中连续，在区间端点连续或最多有一阶极点；qx,ab常微分方程的本征值问题13③中，,ab0,0,0xkxqxkx在区间端点处可能有一阶零点。2、性质①结论1：所有本征值都是实数，且非负，即λ0n12λλλn②结论2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列对应有无穷多个本征函数12,,nyyy称为本征函数系，同一本征值对应的本征函数可能不止一个。常微分方程的本征值问题14③结论3：对应于不同本征值的本征函数，在区间上带权函数正交，即：d0λλbnmmnayxyxxxx,abnmyy、nyx展开为绝对且一致收敛，即：2ddbnanbnayxfxxxCyxxx1nnnfxCyx广义傅里叶级数。③结论4：本征函数系在区间构成一个完备系，即任意一个具有二阶连续导数的函数，只要它满足本征值问题中的边界条件，均可以用,abfx常微分方程的本征值问题15常微分方程的本征值问题16常微分方程的本征值问题17常微分方程的本征值问题18常微分方程的本征值问题19