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第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法题型一：整式乘法与整式加减的综合例1：计算：（1）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）（2）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）变式训练：（1）（x+3）（x+4）-x（x+2）-5（2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b）（3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合例2：解方程（3x-2）（2x-3）=（6x+5）（x-1）变式训练：解方程2x（x-1）-（x+1）（2x-5）=12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例3：解不等式（3x+4）（3x-4）＞9（x-2）（x+3）变式训练：解不等式（2x-1）÷（2x-1）＞（2x+5）（2x-5）-2题型四：整式的化简求值例4：先化简，再求值（-2a4x2+4a3x3-a2x4）÷（-a2x3）,其中a=，x=-4.。变式训练：已知2x-y=10，求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷4y的值。题型五：整式乘法的实际应用例5：西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为acm，宽为acm的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为bcm的小正方形（2b＜a），然后沿虚线折起即可，如图14-1所示，现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，小花任务至少需要彩色纸花的面积实际就是小盒子外部的表面积，可以用以下两种方法求得：①直接法，小盒子外部表面的面积=四个侧面的面积+底面的面积=2［（a-2b）b+（a-2b）b］+（a-2b）（a-2b）；②间接法，小盒子外部表面的面积=原长方形的面积-四个小正方形的面积=a·a-4b2。请你就是一下这两种方法的结果是否一样。变式训练：如图所示，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若干要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要C类卡片多少张？题型六：逆用幂的运算法则例6：已知2x=m，2y=n，2z=mn，求证x+y=z变式训练：已知10m=5,10n=6，求102m+3n的值。题型七：逆用积的乘方运算法则简化计算例7：计算：变式训练：计算：-82017×（-.0125）2016+0.253×26题型八：运用幂的运算法则比较大小例8：比较大小：（1）1625与290（2）2100与375变式训练：比较大小：255,344,433题型九：多小时整除问题例9：已知一个多项式初一多项式a2+4a-3所得的商式是2a+1，余式是2a+8，求这个多项式。变式训练：已知多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x-4整式。（1）求4a+c的值；（2）求2a-2b-c的值；（3）若a，b，c均为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的大小关系。题型十：利用整式乘法求字母的值例10：如果（x+q）（x+）的结果中不含x的一次项，那么q=＿＿＿＿＿变式训练：已知（-2x2）·（3x2-ax-6）-3x3+x2中含x的三次项，则a=＿＿＿＿题型十一：利用整式的乘法探索规律例11：先探索规律，再用所得规律计算。（1）根据多项式的乘法法则计算并填空：（x-3）（x+4）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（x+2）（x+3）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（x+7）（x-1）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（x-5）（x-2）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿………（2）观察积中一次项系数、常数项与乘法算式中两个常数之间的关系，得出规律，用式子表示为（x+p）（x+q）=＿＿（3）利用所得规律计算：①（x+1）（x-5）；②（x-3）（x+7）；③（a-2）（a-1）变式训练：观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…..（1）根据观察以上规律，则（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=＿＿＿＿＿＿＿＿（2）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=＿＿＿＿＿＿＿（3）根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果。题型十二：有关整式乘法的探索题例12：新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上通过联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。（1）多项式成多项式的法则，是第几类知识？（2）在学多项式乘多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出两条即可）（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘多项式的法则是如何获得的。（用（a+b）（c+d）来说明）变式训练：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两书之和，他给出了（a+b）n（n为整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1,2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数。（1）根据上面的规律：写出（a+b）5展开式：（2）利用上面的规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=＿＿＿＿＿＿＿14.2乘法公式题型一：平方差公式的重复运用例1：计算：（1）（2）（2x+1）（4x2+1）（2x-1）（16x4+1）变式训练：计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）；（2）题型二：运用乘法公式简算例2：运用乘法公式简算：（1）102×98；（2）1022；（3）992变式训练：用简便方法简算：（1）982；（2）99×101题型三：乘法公式的灵活运用例3：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）；（2）（a+b+c）2；（3）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）变式训练：计算：（1）（a+b+c）（a+b-1）；（2）（2a-3b+1）（2a+3b-1）（3）（x-2y+3z）2题型四：整式的混合运算例4：计算：（1）（3m-4n）（4n+3m）-（2m-n）（2m+3n）;（2）3（a+1）2-5（a-1）（a+1）2（a-1）`（3）［2x2-（x+y）（x-y）］［（2-x）（2+x）+（-y-2）（2-y）］（4）（2x+y）2（2x-y）2+（x2+y2）2-2（2x2+xy）（2x2-xy）变式训练：计算：（1）（x+2）2+（2x+1）（2x-1）-4x（x+1）（2）（x+y）（x-y）+（x-y）2-（6x2y-2xy2）÷2y题型五：乘法公式变形的应用例5:已知（a+b）2=7,（a-b）2=4,求a2+b2和ab值。变式训练：（1）已知实数x满足=3，则的值为＿＿＿＿＿°（2）若x+y=5，x-y=1，则xy=＿＿＿＿。题型六：整式的化简求值例6：先化简，再求值：（x+1）（x-1）+x（3-x），其中x=2.变式训练：求值：已知4x=3y，求代数式（x-2y）2-（x-y）（x+y）-2y2题型七：乘法公式与方程结合例7：解方程：2（x-2）+x2=（x+1）（x-1）+3x变式训练：解方程：2（x-2）+x2=（x+1）（x-1）+x题型八：乘法公式与不等式（组）结合例8：解不等式x（x-3）＞（x+7）（x-7）变式训练：解不等式组：（x+3）（x-3）-x（x-2）＞1（2x-5）（-2x-5）＜4x（1-x）题型九：完全平方公式的变形应用例9：已知a+b=5，ab=7，求a2+b2，a2-ab+b2的值。变式训练：（x+y）2=9，（x-y）2=5，求x2+y2级xy的值。题型十：应用完全平方公式求字母的值例10：二次三项式x2-kx+9是一个完全平方式，则k的值是＿＿＿＿＿＿变式训练：若x2+（m-3）x+4是完全平方式，求m的值。题型十一：出发公式在复杂计算中的应用例11：计算（2+1）（22+1）（24+1）….（22n+1）变式训练：计算14.3因式分解题型一：提公因式法与公式法的综合运用例1：分解因式：ax2-ay2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿变式训练：分解因式：a2b-2ab+b=＿＿＿＿＿＿＿＿题型二：利用因式分解整体代换求值例2：已知a+b=2，ab=1，则a2b+ab2的值为＿＿＿＿＿＿＿＿变式训练：若a=2，a-2b=3，则2a2-4ab的值为＿＿＿＿＿＿＿＿题型三：因式分解与三角形知识的结合例3：若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2-2bc=c2-2ab，试判断这个三角形的形状。变式训练：已知三角形三边长为a，b，c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断三角形的形状。题型四：在实数范围内分解因式例4：在实数范围内分解因式：x2y-3y=＿＿＿＿＿＿＿＿变式训练：在实数范围内分解因式：x3-6x=＿＿＿＿＿＿＿＿题型五：分解因式：（1）（p-4）（p+1）+3p（2）64m2n2-（m2+16n2）2（3）a4-2a2b2+b4（4）16（a-b）2-9（a+b）2变式训练：（1）（x+y）（x-1）-xy-y2（2）（ax+by）2+（bx-ay）2题型六：平方差公式的灵活运用例6：计算变式训练：若248-1能被60与70直径的两个整数整除，求这两个数。题型七：完全平方公式的灵活运用例7：已知a2+b2-4a-6b+13=0，求a+b的值。变式训练：求证：当x表示整数时，（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1是一个整数的完全平方数。题型八：开放型问题例8：多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是什么？（把符合要求的都写出来）变式训练：给出三个多项式：①2x2+4x-4；②2x2+12x+4；③2x2-4x，请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解。题型九：x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解例9：阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用（1）的酒类分解因式。（1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因式之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q(x+p)=（x+p）（x+q）因此上面结论，可以之积将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。（2）利用（1）的结论分解因①m2+7m-18；②x2-2x-15变式训练：阅读理解。（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：：（x+a）（x+b）=x2+（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿