2014年考研数学(一)真题与解析(完整版)

12014年考研数学一真题与解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A）xxysin（B）xxysin2（C）xxy1sin（D）xxy12sin【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy应该选（C）2．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（）（A）当0)('xf时，)()(xgxf（B）当0)('xf时，)()(xgxf（C）当0)(xf时，)()(xgxf（D）当0)(xf时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21xx,及常数10，恒有)()()()(212111xfxfxxf，则曲线是凸的．显然此题中xxx,,1021，则)()()(211xfxf)()())((xgxfxf110，而)()(xfxxf211，故当0)(xf时，曲线是凸的，即)()()()(212111xfxfxxf，也就是)()(xgxf，应该选（C）【详解2】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)())(()()()()(110，则010)()(FF，且)()(xfxF，故当0)(xf时，曲线是凸的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（C）2３．设)(xf是连续函数，则yydyyxfdy11102),(（Ａ）210011010xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(（Ｂ）0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),((Ｃ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd（Ｄ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是xxdyyxfdxdyyxfdx101010012),(),(，（A），（B）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd．应该选（D）４．若函数dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则xbxasincos11（Ａ）xsin2（Ｂ）xcos2（Ｃ）xsin2（Ｄ）xcos2【详解】注意3232dxx，222dxxdxxsincos，0dxxxdxxxsincoscos，2dxxxsin，所以bbadxxbxax42322232)()sincos(所以就相当于求函数bba422的极小值点，显然可知当20ba,时取得最小值，所以应该选（A）．５．行列式dcdcbaba00000000等于3（A）2)(bcad（B）2)(bcad（C）2222cbda（D）2222cbda【详解】20000000000000000)()()(bcadbcadbcbcadaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba应该选（B）．6．设321,,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解】若向量321,,线性无关，则（31k，32l）Klk),,(),,(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于2，所以向量31k，32l一定线性无关．而当000010001321,,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,,线性相关；故选择（A）．7．设事件A，B想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则)(ABP（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(APAPAPBPAPAPABPAPBAP505030．所以60.)(AP，)(ABP205050.)(..)()(APABPBP．故选择（B）．8．设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随机变量1Y的概率密度为))()(()(yfyfyfY21211，随机变量)(21221XXY，则4（A）2121DYDYEYEY,（B）2121DYDYEYEY,（C）2121DYDYEYEY,（D）2121DYDYEYEY,【详解】)())()((2212112121YEEXEXdyyfyfyEY，222121221212121EXEXdyyfyfyEY))()((，2212212121221222211221141414141412141412121DYXDXDXXEXDXDXEXEXEXEEXEXYEYEDY)()()()()()()()()()(故应该选择（D）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),,(101处的切平面方程为．【详解】曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),,(101处的法向量为),,(|,,),,(1121101yxzz，所以切平面方程为0110112))(())(()(zyx，即012zyx．10．设)(xf为周期为4的可导奇函数，且2012,),()('xxxf，则)(7f．【详解】当20,x时，Cxxdxxxf2122)()(，由00)(f可知0C，即xxxf22)(；)(xf为周期为4奇函数，故1117)()()(fff．11．微分方程0)ln(ln'yxyxy满足31ey)(的解为．【详解】方程的标准形式为xyxydxdyln，这是一个齐次型方程，设xyu，得到通解为1Cxxey，将初始条件31ey)(代入可得特解为12xxey．12．设L是柱面122yx和平面0zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分Lydzzdx．5【详解】由斯托克斯公式RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxL可知xyDLdxdydxdydzdxdydzydzzdx．其中1022yxzy:取上侧，122yxyxDxy|),(．13．设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),,(的负惯性指数是1，则a的取值范围是．【详解】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),,(由于负惯性指数为1，故必须要求042a，所以a的取值范围是22,．14．设总体X的概率密度为其它,,),(02322xxxf，其中是未知参数，nXXX,,,21是来自总体的简单样本，若niiXC12是2的无偏估计，则常数C=．【详解】22222532dxxxXE)(，所以21225CnXCEnii，由于niiXC12是2的无偏估计，故125Cn，nC52．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxxdttetxtx1112112．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】621121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)((lim))((lim))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设函数)(xfy由方程06223yxxyy确定，求)(xf的极值．【详解】解：在方程两边同时对x求导一次，得到0223222)(')(xyyyxxyy，（１）即222232xxyyxyydxdy令0dxdy及06223yxxyy，得到函数唯一驻点21yx,．在（１）式两边同时对x求导一次，得到（0223424622yyxxyyyxxyyyy)(')''(把0121)(',,yyx代入，得到0941)(y，所以函数)(xfy在1x处取得极小值2y．17．（本题满分10分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyezyzxz222224)cos(．若0000)(',)(ff，求)(uf的表达式．【详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)('cos)(,)('cos2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)('sin)(,sin)('2222；7xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知uufuf)()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221)(其中21CC,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为uy41*．故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221)(．将初始条件0000)(',)(ff代入，可得16116121CC,．所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122)(．18．（本题满分10分）设曲面)(:122zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdyzdzdxydydzx)()()(11133【详解】设11221yxz:取下侧，记由1,所围立体为，则高斯公式可得47373366733113131111210202222223321rdzrrdrddxdydzyxdxdydzyxyxdxdydzyxdxdyzdzdxydydzx)()()())()(()()()(在11221yxz:取下侧上，0111111133dxdydxdyzdzdxydydzx)()()()(，8所以dxdyzdzdxydydzx)()()(11133=