复数讲义(绝对经典)

高中数学.复数Page1of16复数一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于1，即21i；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程21x的一个根，方程21x的另一个根是-i．（4）i的周期性：41nii，421ni，43nii，41ni．2．数系的扩充：复数(0)ii(0)i(0)i(0)ababbaabbaba实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如i()ababR，的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即()zabiabR，，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()abiabR，，当且仅当0b时，复数()abiabR，是实数a；当0b时，复数zabi叫做虚数；当0a且0b时，zbi叫做纯虚数；当且仅当0ab时，z就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：NZQRC苘苘7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，abd，，，c，dR，那么iiabcdac，bd高中数学.复数Page2of16二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数i()zababR，与有序实数对ab，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数i()zababR，可用点Zab，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为00，，它所确定的复数是00i0z表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数zabi一一对应复平面内的点()Zab，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数1z与2z的和的定义：12zziiabcdiacbd2．复数1z与2z的差的定义：12zziiabcdiacbd3．复数的加法运算满足交换律:1221zzzz4．复数的加法运算满足结合律:123123()()zzzzzz5．乘法运算规则：设1izab，2izcd(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积12iiizzabcdacbdbcad其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）123123zzzzzz（2）123123()()zzzzzz（3）1231213zzzzzzz7．复数除法定义：满足iiicdxyab的复数xyi(x、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：()abicdi或者abicdi高中数学.复数Page3of168．除法运算规则：设复数iab(a、bR)，除以icd(c，dR)，其商为ixy（x、yR)，即(i)iiabcdxy∵xyicdicxdydxcyi∴iicxdydxcyab由复数相等定义可知cxdyadxcyb，解这个方程组，得2222acbdxcdbcadycd，于是有:(i)iabcd2222acbdbcadicdcd②利用22iicdcdcd于是将iiabcd的分母有理化得：原式22i(i)(i)[i(i)]()ii(i)(i)ababcdacbdbcadcdcdcdcd222222()()iiacbdbcadacbdbcadcdcdcd．∴((i)iabcd2222iacbdbcadcdcd点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数icd与复数icd，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而22cdicdicd是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．高中数学.复数Page4of161．复数的概念【例1】已知2(1aibiii为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（）A．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，32【答案】D【例2】计算：0!1!2!100!i+i+i++i（i表示虚数单位）【答案】952i【解析】∵4i1，而4|!k（4k），故0!1!2!100!i+i+i++iii(1)(1)197952i【例3】设22(253)(22)iztttt，tR，则下列命题中一定正确的是（）A．z的对应点Z在第一象限B．z的对应点Z在第四象限C．z不是纯虚数D．z是虚数【答案】D【解析】2222(1)10ttt．【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)ixxx是纯虚数，则实数1x；③z是虚数的一个充要条件是zzR；④若ab，是两个相等的实数，则()()iabab是纯虚数；⑤zR的一个充要条件是zz．⑥1z的充要条件是1zz．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错；1x时，22(1)(32)0xxxi，②错；z为实数时，也有zzR，③错；0ab时，()()0ababi，④错；⑤⑥正确．2．复数的几何意义【例5】复数2i12imz（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）例题精讲高中数学.复数Page5of16A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由已知2(2)(12)1[(4)2(1)]12(12)(12)5mimiizmmiiii在复平面对应点如果在第一象限，则4010mm，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【例6】若35ππ44，，复数(cossin)(sincos)i在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】结合正、余弦函数的图象知，当35ππ44，时，cossin0sincos0，．【例7】如果复数z满足ii2zz，那么i1z的最小值是（）A．1B．2C．2D．5【答案】A【解析】设复数z在复平面的对应点为Z，因为ii2zz，所以点Z的集合是y轴上以1(01)Z，、2(01)Z，为端点的线段．i1z表示线段12ZZ上的点到点(11)，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z，到点(11)，的距离，其距离为1．【例8】满足1z及1322zz的复数z的集合是（）A．1313ii2222，B．1111ii2222，C．2222ii2222，D．1313ii2222，【答案】D【解析】复数z表示的点在单位圆与直线12x上（1322zz表示z到点102，与点302，的距离相等，故轨迹为直线12x），故选D．【例9】已知复数(2)i()xyxyR，的模为3，则yx的最大值为_______．COyx高中数学.复数Page6of16【答案】3【解析】2i3xy∵，22(2)3xy∴，故()xy，在以(20)C，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()xy，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3．【例10】复数z满足条件：21izz，那么z对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【解析】A；设izxy，则有(21)2i(1)ixyxy，2222(21)(2)(1)xyxy，化简得：22215339xy，故为圆．【点评】①0zz的几何意义为点z到点0z的距离；②0(0)zzrr中z所对应的点为以复数0z所对应的点为圆心，半径为r的圆上的点．【例11】复数1z，2z满足120zz，1212zzzz，证明：21220zz．【解析】设复数1z，2z在复平面上对应的点为1Z，2Z，由1212zzzz知，以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形为矩形，12OZOZ，故可设12(0)zkikkzR，，所以2222122i0zkkz．也可设12iizabzcd，，则由向量()ab，与向量()cd，垂直知0acbd，122222i()()ii0izabacbdbcadbcadzcdcdcd，故22112220zzzz．【例12】已知复数1z，2z满足171z，271z，且124zz，求12zz与12zz的值．【答案】47i3；4．【解析】设复数1z，2z在复平面上对应的点为1Z，2Z，由于222(71)(71)4，故2221212zzzz，故以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZOZ，则127147ii371zz；12124zzzz．高中数学.复数Page7of16【例13】已知12zz，C，121zz，123zz，求12zz．【解析】设复数12zz，，12zz在复平面上对应的点为123ZZZ，，，由121zz知，以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形是菱形，记O所对应的顶点为P，由123zz知，1120PZO（可由余弦定理得到），故1260ZOZ，从而121zz．【例14】已知复数z满足(23i)(23i)4zz，求dz的最大值与最小值．【答案】max2213d，min1d【解析】设izxy，则()xy，满足方程22(2)14yx．222228284[1(2)]333dxyxxx，又13x≤≤，故当10xy，时，min1d；当82533xy，时，有max2213d．3．复数的四则运算【例15】已知mR，若6(i)64imm，则m等于（）A．2B．2C．2D．4【答案】B【解析】66366(i)(2i)8i64i82mmmmmm．【例16】计算：121009100(22)(23)(13)(123)iiii．【答案】511【解析】原式1212100126910010099992(1i)(i23)2(2i)121511(i)13[i(i23)]132(i)2(i)2222．【例17】已知复数1cosiz，2siniz，则12zz的最大值为（）A．32B．2C．62D．3【答案】A【解析】12(cosi)(sini)(cossin1)(cossin)izz22(cossin1)(cossin)