高等流体力学第4讲

第四讲气体流动的基本方程气体动力学是研究气体与物体之间有相对运动时，气体的运动规律以及气体和物体间相互作用的一门科学。与液体相比，气体具有较大的压缩性，但这并不意味着所有情况下气体的密度都会有明显的变化。在这里有必要澄清可压缩流体与可压缩流动这两个概念。当气体速度流动较小（马赫数小于0.3)时，其密度变化不大，或者说对气流速度的变化不十分敏感，气体的压缩性没有表现出来。因此，在处理工程实际问题时，可以把低速气流看成是不可压缩流动，把气体可以看作是不可压缩流体。而当气体以较大的速度流动时，其密度要发生明显的变化，则此时气体的流动必须看成是可压缩流动。由于可压缩流动要比不可压缩流动复杂得多，所以在本课程中只能简要地介绍有关气体一元稳定流动的一些基本知识，其中包括气体一元稳定流动的基本方程、声速及马赫数、气流参数、气动函数及其应用以及一元稳定管流等方面的知识，为今后的进一步研究复杂的气体流动打下一个基础。一、一元稳定气流的基本方程一元稳定流动是一种最简单的理想化的流动模型。气体在实际管道中的流动都不是真正的一元流动，但在工程上，只要在同一截面的气流参数变化比沿流动方向上的气体参数变化小得多，就可以看作是一元流动。因此，在工程实际问题中，一元近似方法有着极其广泛的用途。但是应该记住，一元流动假设只是一个较好的近似，如果需要更精确的结果，则必须用二元或三元流动的理论去处理。在一元稳定流动中，气体的流动当然仍要遵守自然界中的一些基本定律，如质量守恒定律、牛顿第二定律、热力学第一定律和第二定律。下面就来推导这些基本定律应用于气体一元稳定流动时的数学表达式，即流动的基本方程式。（一）状态方程由热力学知道，气体的状态可用压力p、温度T和密度ρ等参数来描述，三者之间的函数关系称为状态方程，即(,,)0fpρT（4－1）对完全气体而言，状态方程可写成pρRT（4－2）式中p绝对压力，Pa；T为热力学温度，K；R为特定气体的气体常数，对空气来讲R可取为，287.06J/(kg·K)。对式(4－2)取对数后再微分，便可得到完全气体状态方程的微分形式，即dppdρρdTT（4－3）气体的另一个重要参数是比热容，即气体的定压比热容cp和定容比热容cv，对完全气体，两者之间存在着下列关系Rccvp（4－4）它们的比值也是一个很重要的参数，称为比热比或绝热指数，用k来表示。即pvkcc(4－5)由式（4－4〉和(4－5)便可推出下面的关系式1pkcRk(4－6)在本课程中我们只讨论定比热的完全气体流动问题，并忽略重力等质量力对气流的影响。（二）连续方程连续方程是把质量守恒定律用于运动流体所得到的数学关系式。我们已在工程流体力学中推导出了一元稳定流动的连续性方程，即mρAv常数（4－7）式中mdmdt，表示单位时间内流入或流出控制体流体的质量，称为流量，单位为kg/s。取对数后再微分可得气体一元稳定流动连续方程的微分形式0dρρdAAdvv。(4－8)式(4－7)和（4－8）便是气体一元稳定流动的连续方程及其微分形式。其物理意义是沿流程方向各断面上的流量处处相同。连续方程是一个运动方程，在其推导过程中并不牵涉到力的问题。因此，无论是对理想流体还是粘性流体来讲都是适用的。（三）微分形式的动量方程动量方程是把动量定理应用于运动流体所得到的数学关系式。其内容可表达为:在某一瞬时，单位时间内流出控制体的流体的动量与流入控制体的流体的动量之差等于作用在控制体上的合外力。图4－1为通过管道（或流管）的一元稳定流，沿流管的轴线方向取间距为ds的两个截面aa和bb，其截面积分别为A和A+dA。截面aa上的气流参数为p，ρ，v，……，截面bb上的参数p+dp，ρ+dρ，v+dv，……。取空间aabba为控制体，沿流动方向施用动量方程。作用在控制体上的外力有：○1作用在截面aa上的压力pA；○2作用在截bb上的压力-(p+dp)(A+dA)；○3作用在流管侧表面上压力在s方向上的分量()sin()2sin2dpdAdppαpdAα○4质量力为ρgAds，其分量为－ρgAdscosβ=－ρgAdz○5作用在流管侧面上的粘性力分量－δFf。单位时间内流入控制体的流体动量为mv&；单位时间内流出控制体的流体动量为()mvdv&。这样则有()()()2fdpρAgdzpApdpAdApδF()mvdvmv经合并整理，并略去高阶无穷小量，上式可简化为图9－1微元控制体dssv+dvabvpabzp+dpρAdsgβα(p+dp/2)dA0fAdpρAgdzδFmv&（4－9)假设摩擦力为零，各项同除以A后可得0dpvdvgdz。（4－10)此式便是理想流体一元稳定流动动量方程的微分形式。对于气体，通常可以忽略其质量力，则上式又可写成0dpρvdv。(4－11)从上式中可以看出，压力增量dp与速度增量dv的符号相反。这意味着，气体压力增大的地方，流速减小；气体压力减小的地方，流速增大，反之亦然。(四)能量方程能量方程是热力学第一定律应用于流动气体所得到的数学关系式，它表明了气体在流动过程中能量转换关系。对于一个确定的系统，热力学第一定律可表示为δQdEδW。(4－12)式（4－12)表明，传入系统的热量全部用于增加系统的内能和对外作功。图9一2给出了一个一元稳定流动的模型。在此模型中，气体与外界热源有热量的交换，并通过叶轮机的转轴与外界有功的交换。在流管中任取两个垂直子流动方向的截面1－1和2－2，它们与其中间的管壁组成一个控制体，取t时刻占据控制体的流体为系统，经过dt时间后，此系统位于新的位置1′－1′'和2′－2′之间。○1系统能量的变化为IIIIIIII()()tdttdEEEEE。由于流动稳定，所以有IIIdEEE。系统动能的变化为22222121III()222kvvvvdEdmdmdm。系统位能的变化为21()hdEdmgzz，系统内能的变化dx2222´2´z2111´1´dx1IIIIIIz1热源qws图9－2控制体模型21()udEdmuu，式中u为单位质量气体所具有的内能。因此，经过dt时间，系统能量的变化为222121211[()()()]2khudEdEdEdEdmvvgzzuu。（a）○2外界传入系统的热量由于我们只注意气体的宏观运动，这里无需考虑传热过程的细节，仅仅用传热量δQ来表示传热对流动的影响。通常规定，外界向系统传入热量为正；反之，系统向外界传出热量为负。○3系统对外所作的功a.机械或称轴功δWs：通常规定，系统对外作功为正；反之，外界对系统作功为负。b.流动功δWp：是指流体压力所作的功，并规定流体对外作功为正，外界对流体作功为负。则2121222111212121()pppppδWpAdxpAdxdmdmdmρρρρ。c.壁面摩擦力所作的功：一般情况下，这部分功是很难精确计算的。有一种情况其值为零，即当控制体的侧表面与饥匣内壁或管道内相重合时。因为此时壁面上流体的运动速度为零，既使有摩擦力存在，它也不对控制体内的流体作功。因此，在dt时间内，系统对外所作的功为2121()spsppδWδWδWδWdmρρ。（b）将(a)、(b)两式代入式(4－12)得2221212121211[()()()()]2sppdQdmvvgzzuuδWρρ。将上式各项同除以dt，则可得2221212121211[()()()()]2sppQmvvgzzuuWρρ。(4－13)式中QδQdt——单位时间内流过控制面的热交换量；sWδWdt为单位时间内控制体内流体对外输出的轴功功率。式（4－13）便是适用于控制体的一元稳定流动的能量方程式。实用上，通常将u和p/ρ两项合并起来称为热焓，用符号h表示，即phuρ。（4－14）另外，对气体来说，可以不考虑其位能的变化。这样引入热焓后能量方程可表示为2221211[()()]2sQmvvhhW，将上式两边同除以m，则得2221211()()2sqvvhhw，或2221211()()2sqwvvhh。（4－15）式中q为外界加给流过控制体的每单位质量气体的热量；ws为流过控制体的每单位质量气体对外界所作的机械功(轴功)。式(4－15)便是热焓形式的能量方程，式中各项的单位均为J/kg。它表明，外界加给气流的热量和外界对气流所作的机械功用来增大气体的焓和动能。对既没有热量交换也没有机械功输入输出的绝能流动过程，因q=0，ws=0能量方程可简化为2211221122hvhv常数。（4－16）对定比热容的完全气体，h=cpT，则有2211221122ppcTvcTv常数（4－17）从式(4－17)可以看出，在绝能流动中各截面上气流的焓和动能之和保持不变。如果气体的焓减小(表现为温度下降)，则气体的动能增大(表现为速度增大)；反之亦然。例4－1某涡轮喷气发动机，空气进入压气机时的温度Tl=290K，经压气机压缩后，出口温度上升至T2=450K，如图所示。假设压气机迸出口的空气流速近似相等，如果通过压气机的空气流量为13.2lkg/s，求带动压气机所需的功率(设空气比热容为常数)。解：在压气饥中，外界并未向气体加入热量，气体向外界散出的热量也可以忽略不计，故空气通过压气饥可近似地认为是绝热过程，即q=0。又因v1≈v2，故由式(10－15)，有212122()()1spkwhhcTTRTTk。将已知数据代入上式，得1.4287.06(450290)160.8kJ/kg1.41sw，即压气机每压缩1kg空气需授功160.8kJ，负号表示外界对气体作功。带动压气机所需功率为13.2160.82122kWssNmw。二、声速与马赫数（一）声速在气体动力学中，声速泛指微弱扰动波在流体介质中的传播速度，而不仅仅是指声音的传播速度。我们用下面的例子来说明什么是微弱扰动波。假设有一个半无限长的直圆管，左端用一个活塞封住，如图4－4a所示，管内充满静止的气体，其参数为p，ρ，T。将活塞以dv的速度向右推动。活塞由静止状态加速度到速度为dv时，紧贴活塞的那层气体最先受到压缩，其参数变为p+dp，ρ+dρ，T+dT，并同活塞一起向右运动压缩第二层气体。这样，压缩作用便可一层一层地向右传播出去，见图4－4b。从上述分析中可知，受到扰动（压缩）的气体和尚未受到扰动的气体之间有一个分界面，在分界面两12图9－3例9－1图图9－4声波的传播(b)p,ρ,TTdvp+dpρ+dρT+dT(a)p,ρ,TT边，气体参数略有不同，这个分界面叫做微弱扰动波。现在我们仍以前面的例子来推导声速公式。在图4－5a中，假设微弱扰动压缩波在半无限长的直圆管中以速度c向右传播，波扫过的流体参数为p+dp，ρ+dρ，T+dT并以dv的速度向右运动。波前气体参数为p，ρ，T，并且是静止不动的。为了分析简单起见，选用与扰动波一起运动的坐标系，则流动如图4－5b所示，并取图中的虚线部分为控制体。对所选取的控制体施用动量方程，并略去其侧面的切应力，则有()()()pApdpAρAccdvρAcc。整理后得到dpρcdv。（a）对控制体施用连续方程，则有()()ρAcρdρAcdv。展开后略去高阶小量则有dvcdρρ。（b）由式（a）和（b）则有2cdpdρ或cdpdρ（4－18）由热力学分析可知，微弱扰动泼的传播过程可以看作是等熵过程。所以对完全气体来说有kpρ常数，取对数并微分后有dppkdρρ。所以，dpdkpkRT。将上式代入式（4－18），则得声速公式为pckkRT。（4－19）对常温下的空气，T=288.2K，k=1.4，R=287.06J/(kg·K)，有1.4287.06288.2340.3m/sc。（二）马赫数流场任一点处的流