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11.201）弛豫时间τ在Drude自由电子模型中，电子在任意无穷小时间间隔dt内受到一次碰撞的几率为dt/τ，基于此，请：(a)求解电子t秒内，不受到碰撞的几率；(b)证明一个电子连续两次碰撞时间间隔处于t和t+dt之间的几率为(dt/τ)*exp(-t/τ);(c)证明，电子连续两次碰撞的平均间隔时间为τ；（a）在t=0时刻，选一电子，令P(t)为该电子在之后的ts内不受碰撞的几率，电子是时间间隔t~t+dt内收到碰撞的几率为：P(t)-P(t+dt)=P(t)dt/τ𝑑𝑃(𝑡)𝑃(𝑡)=−𝑑𝑡𝜏积分得：P(t)=exp(-t/τ)设P1(t)为该电子在t=0之前的ts内不受碰撞的几率，同理可得：P1(t)=exp(t/τ)或写为P1(t)=exp(-|t|/τ)所以，电子在给定时刻之前或之后t秒内不受碰撞得几率是exp(-t/τ)。（b）令电子上一次发生碰撞的时刻为t=0，电子在t秒内没有受到碰撞的几率是P(t)电子在t~t+dt内受到碰撞的几率是：P(t)-P(t+dt)=P(t)dt/τ=exp(-t/τ)∙(dt/τ)（c）由（b）知，电子连续两次碰撞时间间隔处于t和t+dt之间的几率为(dt/τ)*exp(-t/τ)所以电子连续两次碰撞的平均时间为：𝑡𝑎=𝑡𝑒−𝑡𝜏∞0dt/τ令𝑥=𝑡/𝜏,𝑡𝑎=𝜏𝑑𝑥𝑥𝑒−𝑥∞0=𝜏11.202）说明并解释金属、半导体电导率随温度变化的差异。金属：温度升高，晶格振动加剧，载流子受到晶格振动引起的散射加强，对电子的阻碍增强。弛豫时间τ减小，电导率降低。半导体：较低温度时，温度升高，载流子浓度增大，迁移率增大，电导率增大。室温时，杂质基本全部电离，载流子浓度稳定，温度升高，迁移率下降，电导率降低。高温时，主要是本征激发，温度升高，载流子浓度急剧上升，电导率增大。11.271）在Boltzmann方程的弛豫时间近似中，弛豫时间τ代表什么物理意义？1）在外场作用下系统进入非平衡态，通过碰撞使系统恢复平衡，恢复平衡所需要的时间为弛豫时间。11.272)设f0(r,v)代表平衡时相空间的分布函数，f(E)为费米分布函数，试证明：f0(r,v)=2m3*f(E)/h3对k空间态密度有：𝑑𝑁=𝑉(2𝜋)32𝑓𝐸𝒌𝑑𝒌𝑑𝑛=1(2𝜋)32𝑓𝐸𝒌𝑑𝒌又因为𝑑𝑣𝑑𝑘=ℏ𝑚，所以𝑑𝒌=𝑚3ℏ3𝑑𝒗代入上式𝑑𝑛=12𝜋32𝑚3ℏ3𝑓(𝐸)𝑑𝒗考虑到热平衡状态下体系的均匀性，𝑓0(𝑟,𝑣)与r无关。所以：𝑓0(𝑟,𝑣)=2𝑚3ℎ3𝑓(𝐸)11.271）因为总角动量J=L+S所以总磁矩𝑴=𝑴𝐿+𝑴𝑆=−𝜇𝐵(𝑔𝐿𝑳+𝑔𝑆𝑺)已知𝑔𝐿=1，𝑔𝑆=2所以𝑴=−𝜇𝐵(L+2S)=−𝜇𝐵(J+S)由定义得：𝑔𝐽=𝑴−𝜇𝐵𝑱=𝑱+𝑺𝑱=1+𝑺∙𝑱𝑱2由L=J-S，知𝐿2=𝐽2−2𝑆∙𝐽+𝑆2所以：𝑆∙𝐽=𝐽2+𝑆2−𝐿22所以𝑔𝐽=1+𝐽2+𝑆2−𝐿22𝐽2=32+(𝑆2−𝐿2)/2𝐽2𝐽2，𝑆2，𝐿2的本征值分别为J(J+1)ℏ2,S(𝑆+1)ℏ2,L𝐿+1ℏ2所以𝑔𝐽=32+𝑆𝑆+1−𝐿(𝐿+1)2𝐽(𝐽+1)2）磁感应强度B：1T=104Gs磁化强度M：1Gs=103A/m磁场H：1Oe=103/4πA/m12.41、请给出铁磁零场M-T曲线图。12.42、请分别写出铁磁、反铁磁、和亚铁磁温度相关的磁化率形式。铁磁：𝜒=𝐶𝑇−𝑇𝑝；𝑇𝑝为顺磁居里温度反铁磁（高温）：𝜒=𝐶𝑇+𝑇𝑐′；𝑇𝑐′为渐近居里点亚铁磁：1𝜒=𝑇𝐶+1𝜒0−𝜎𝑇−Θ;Θ为亚铁居里温度12.4Fe具有体心立方晶格，原子量=55.85，密度=7.86g/cm3，居里温度Tc=1043K。试计算：1)交换积分A的数值；2)每个Fe原子的交换能；3)每单位体积的交换能。（1）Fe具有体心立方晶格，z=8，s=2𝐴=3𝑘𝐵𝑇𝐶2𝑧𝑠+1𝑠𝑘𝐵=1.381×10−23𝐽⋅𝐾−1,𝑇𝐶=1043𝐾所以𝐴=4.498×10−22𝐽（2）𝐸𝑒𝑥=−𝑧⋅𝐴⋅𝑠1∙𝑠2=−1.44×10−20𝐽（3）𝐸𝑒𝑥𝑉=𝐸𝑒𝑥𝑁𝐴𝑀/𝜌=−19.7𝐽/𝑐𝑚312.6磁晶各向异性能表达式：𝐹𝑘=𝐾0+𝐾1𝛼12𝛼22+𝛼32𝛼22+𝛼12𝛼32+𝐾2𝛼12𝛼22𝛼32[100]方向：𝛼1=1，𝛼2=0，𝛼3=0𝐹𝑘[100]=𝐾0+0+0=𝐾0[110]方向：𝛼1=1/2，𝛼2=1/2，𝛼3=0𝐹𝑘[110]=𝐾0+𝐾112∙12+0=𝐾0+𝐾14[111]方向：𝛼1=1/3，𝛼2=1/3，𝛼3=13𝐹𝑘[110]=𝐾0+𝐾113∙13+13∙13+13∙13+𝐾213∙13∙13=𝐾0+𝐾13+𝐾227各向异性能作差得出磁化能𝑊[110]−𝑊[100]=𝐾14𝑊[111]−𝑊[100]=𝐾13+𝐾227