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2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线1=+yx垂直的切线方程为__________.（2）已知xxxeef−=′)(，且f(1)=0,则f(x)=__________.（3）设L为正向圆周222=+yx在第一象限中的部分，则曲线积分∫−Lydxxdy2的值为__________.（4）欧拉方程)0(024222=++xydxdyxdxydx的通解为.__________.（5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A，矩阵B满足EBAABA+=**2，其中*A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则=B__________.（6）设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则}{DXXP=__________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x时的无穷小量dttdttdttxxx∫∫∫===03002sin,tan,cos2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)γβα,,.(B)βγα,,.(C)γαβ,,.(D)αγβ,,.[]（8）设函数f(x)连续，且,0)0(′f则存在0δ，使得(A)f(x)在（0，)δ内单调增加.（B）f(x)在)0,(δ−内单调减少.(C)对任意的),0(δ∈x有f(x)f(0).(D)对任意的)0,(δ−∈x有f(x)f(0).[]（9）设∑∞=1nna为正项级数，下列结论中正确的是(A)若nnna∞→lim=0，则级数∑∞=1nna收敛.（B）若存在非零常数λ，使得λ=∞→nnnalim，则级数∑∞=1nna发散.梦飞翔考研论坛／22页梦飞翔考研(C)若级数∑∞=1nna收敛，则0lim2=∞→nnan.(D)若级数∑∞=1nna发散,则存在非零常数λ，使得λ=∞→nnnalim.[]（10）设f(x)为连续函数，∫∫=ttydxxfdytF1)()(，则)2(F′等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[]（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010.(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010.(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010.(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110.[]（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.[]（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(αα，数αu满足αα=}{uXP，若α=}{xXP，则x等于(A)2αu.(B)21α−u.(C)21α−u.(D)α−1u.[]（14）设随机变量)1(,,,21nXXXnΛ独立同分布，且其方差为.02σ令∑==niiXnY11，则(A)Cov(.),21nYXσ=(B)21),(σ=YXCov.(C)212)(σnnYXD+=+.(D)211)(σnnYXD+=−.[]（15）（本题满分12分）设2ebae,证明)(4lnln222abeab−−.（16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，梦飞翔考研论坛／22页梦飞翔考研飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66×=k问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.（17）（本题满分12分）计算曲面积分,)1(322233dxdyzdzdxydydzxI∫∫∑−++=其中∑是曲面)0(122≥−−=zyxz的上侧.（18）（本题满分11分）设有方程01=−+nxxn，其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根nx，并证明当1α时，级数∑∞=1nnxα收敛.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+−−+−zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz=的极值点和极值.（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++nxannxnxxxaxxxxannnΛΛΛΛΛΛΛΛΛ试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.（21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=51341321aA的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.(22)（本题满分9分）设A,B为随机事件，且21)(,31)(,41)(===BAPABPAP，令;,,0,1不发生发生AAX⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生BBY⎩⎨⎧=求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X和Y的相关系数.XYρ梦飞翔考研论坛／22页梦飞翔考研（23）（本题满分9分）设总体X的分布函数为,1,1,0,11),(≤⎪⎩⎪⎨⎧−=xxxxFββ其中未知参数nXXX,,,,121Λβ为来自总体X的简单随机样本，求：（I）β的矩估计量；（II）β的最大似然估计量.梦飞翔考研论坛／22页梦飞翔考研年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线1=+yx垂直的切线方程为1−=xy.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.【详解】由11)(ln==′=′xxy，得x=1,可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为)1(10−⋅=−xy，即1−=xy.【评注】本题也可先设切点为)ln,(00xx，曲线y=lnx过此切点的导数为1100==′=xyxx，得10=x，由此可知所求切线方程为)1(10−⋅=−xy，即1−=xy.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知xxxeef−=′)(，且f(1)=0,则f(x)=2)(ln21x.【分析】先求出)(xf′的表达式，再积分即可.【详解】令tex=，则txln=，于是有tttfln)(=′，即.ln)(xxxf=′积分得Cxdxxxxf+==∫2)(ln21ln)(.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求函数为f(x)=2)(ln21x.【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3）设L为正向圆周222=+yx在第一象限中的部分，则曲线积分∫−Lydxxdy2的值为π23.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.【详解】正向圆周222=+yx在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin2,cos2πθθθ→⎩⎨⎧==yx于是θθθθθπdydxxdyL]sin2sin22cos2cos2[220⋅+⋅=−∫∫梦飞翔考研论坛／22页梦飞翔考研=.23sin2202πθθππ=+∫d【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222=++xydxdyxdxydx的通解为221xcxcy+=.【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换tex=化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】令tex=，则dtdyxdtdyedxdtdtdydxdyt1==⋅=−，][11122222222dtdydtydxdxdtdtydxdtdyxdxyd−=⋅+−=，代入原方程，整理得02322=++ydtdydtyd，解此方程，得通解为.221221xcxcececytt+=+=−−【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令tex=，则欧拉方程)(222xfcydxdybxdxydax=++，可化为).(][22tefcydtdybdtdydtyda=++−（5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A，矩阵B满足EBAABA+=**2，其中*A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则=B91.【分析】可先用公式EAAA=*进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A，得AABAAABA+=**2，而3=A，于是有ABAB+=63，即ABEA=−)63(，梦飞翔考研论坛／22页梦飞翔考研再两边取行列式，有363==−ABEA，而2763=−EA，故所求行列式为.91=B【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A，一般均应先利用公式EAAAAA==**进行化简.（6）设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则}{DXXP=e1.【分析】已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解】由题设，知21λ=DX，于是}{DXXP=dxeXPx∫+∞−=λλλλ1}1{=.11eex=−∞+−λλ【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x时的无穷小量dttdttdttxxx∫∫∫===03002sin,tan,cos2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)γβα,,.(B)βγα,,.(C)γαβ,,.(D)αγβ,,.[B]【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】0cos2tanlimcostanlimlim20020002=⋅==+++→→→∫∫xxxdttdttxxxxxαβ，可排除(C),(D)选项，又xxxxdttdttxxxxxtan221sinlimtansinlimlim230003002⋅==+++→→→∫∫βγ=∞=+→20lim41xxx，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与nx进行比较，再确定相互的高低次序.梦飞翔考研论坛／22页梦飞翔考研（8）设函数f(x)连续，且,0)0(′f则存在0δ，使得(A)f(x)在（0，)δ内单调增加.（B）f(x)在)0,(δ−内单调减少.(C)对任意的),0(δ∈x有f(x)f(0).(D)对任意的)0,(δ−∈x有f(x)f(0).[C]【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】由导数的定义，知0)0()(lim)0(0−=′→xfxffx，根据保号性，知存在0δ，当),0()0,(δδΥ−∈x时，有0)0()(−xfxf即当)0,(δ−∈x时，f(x)f(0);而当),0(δ∈x时，有f(x)f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论